¿Qué significa $\int_a^b f(G(x)) dG(x)$? - Un ejercicio pregunta sobre teoría de la medida

Question

Estoy leyendo Folland del libro y las definiciones son como sigue (p. 108).

Deje $G$ ser un continuo aumento de la función en $[a,b]$ y deje $G(a) = c, G(b) = d$.

Lo que se pide en la pregunta es:

Si $f$ es Borel medible e integrable de la función en $[c,d]$,$\int_c^d f(y)dy = \int_a^b f(G(x))dG(x)$. En particular, $\int_c^d f(y) dy = \int_a^b f(G(x))G'(x)dx$ si $G$ es absolutamente continua.

Como se puede ver en el título, no entiendo qué significa $\int_a^b f(G(x))dG(x)$. También, estoy atascado en todo el ejercicio. Si uno puede ayudar, voy a ser muy feliz! Gracias.

Answer 1

Esto es probable que sea de Riemann-Stieltjes o Lebesgue-Stieltjes de integración (probablemente la última, dado el contexto).

Answer 2

Para estos tipos de problemas en la integración, es a menudo útil comenzar con indicador de funciones.

De la parte (a) de que el ejercicio, tenemos $m(E) = \mu_G(G^{-1}(E))$ para cualquier medibles $E \subset [c,d]$. Deje $\chi_E$ ser la función del indicador de $E$. A continuación,$\int_{[c,d]} \chi_E \; dy = m(E) = \mu_G(G^{-1}(E))$. También, se observa que la $\chi_E(G(y)) = \chi_{G^{-1}(E)}(y)$. Por último, tenga en cuenta que $G^{-1}(E)$ se encuentra en $[a,b]$ por la continuidad de $G$. $$\mu_G(G^{-1}(E)) = \int_{[a,b]} \chi_{G^{-1}(E)}(y) \; dG = \int_{[a,b]} \chi_{E}(G(y)) \;dG $$ y $$\int_{[a,b]} \chi_E(G(y)) \; dG = \int_{[c,d]}\chi_E\;dy$$

Todo lo que hemos hecho es lineal por lo que se aplica igual de bien a las funciones simples. Ahora se extienden a más funciones generales mediante el estudio de la definición de la integral de Lebesgue.

Para la segunda parte, sabemos que $G$ es diferenciable una.e. Teorema 3.35 nos dice que $G(t) - G(x) = \int_x^t G'(y)dy$ cualquier $(t, x) \subset [a,b]$. Pero $G(t) - G(x) = \mu_G((t,x))$.