Mostrar que $\phi$ es una isometría

Question

El siguiente Lema se puede obtener en 'Geométrico no Lineal Análisis Funcional"por Benyamini y Lindenstrauss, la página de $2.$

Lema: Cada espacio métrico $X$ es isométrico a un subconjunto de $\ell_{\infty}(\Gamma)$ algunas $\Gamma.$

Prueba: Revisión de cualquier $x_0 \in X,$ y tome $\Gamma$ a ser el conjunto de $X$ sí. La incrustación $\phi:X \rightarrow \ell_{\infty}(\Gamma)$ está definido por $$\phi(x)(y) = d(x,y) - d(x_0,y).$$

Pregunta: ¿Cómo demostrar que $\phi$ es una isometría entre el $X$ $\ell_{\infty}(\Gamma)?$

Queremos mostrar que $ d(\phi(x), \phi(z)) = d(x,z)$ por cada $x,z \in X.$

Observe que para cada una de las $x \in X,$ $$\sup_{y \in X}|\phi(x)(y)| = \sup_{y \in X}|d(x,y)-d(x_0,y)| \leq \sup_{y \in X}|d(x,x_0)| = |d(x,x_0)|.$$ No sé cómo continuar.

Cualquier sugerencia se agradece.

Answer 1

Tenga en cuenta que: $$\sup_{y\in X}| d(x,y) - d(x_0,y) - d(z,y)+d(x_0,y)|=\sup_{y\in X}|d(x,y)-d(z,y)|≥|d(x,z)-d(z,z)|=d(x,z)$$ y a través de la parte inferior del triángulo de la desigualdad ha $|d(x,y)-d(z,y)|≤d(x,z)$ cualquier $y$. Así $$d(\phi(x),\phi(z))=\|\phi(x)-\phi(z)\|_\infty = d(x,z)$$