Qué $\chi(g^{-1})=\overline{\chi (g)}$ posee infinitas grupos

Question

Deje $\chi$ ser el personaje de alguna representación,$\rho:G \to GL(M)$$\mathbb C$.

Supongamos $G$ es un grupo, entonces la $\forall g \in G$ finito de orden $n$, $ \chi(g^{-1})=\overline{\chi (g)}$

Prueba: $\rho(g)^n=\rho(g^n)=\rho(e)=\textrm{id}$. Por lo tanto el polinomio característico de a $\rho(g)$ divide $x^n-1$, por lo que el polinomio característico de a $\rho(g)$ tiene distintas raíces. Por tanto, hay una base $\mathcal B$ $M$ compuesta de vectores propios de a $\rho(g)$ $[\rho(g)]_\mathcal B$ es diagonal. A continuación, $\chi(g)=\sum_i \lambda_i$ cuando la $\lambda_i$ son los autovalores de a $\rho(g)$. Ahora $[\rho(g^{-1})]_\mathcal B=[\rho(g)]_\mathcal B ^{-1}$ a que el $\lambda_i ^{-1}$ en la diagonal. Por lo $\chi(g^{-1})=\sum_i \lambda_i^{-1}.$ Pero desde $\rho(g)^n=\textrm{id}, \, [\rho(g)]_\mathcal B^n=I $ así que para cualquier vector propio $v_i$ con autovalor $\lambda_i$, $\rho(g)^n(v_i)=\lambda_i^n v=v_i$. Por lo tanto $\lambda_i$ $n$- ésima raíz de la unidad y de la ha $\lambda_i^{-1}=\overline{\lambda_i}$. Por lo tanto, $\chi(g^{-1})=\sum_i \lambda_i^{-1}=\sum_i \overline{ \lambda_i}=\overline{\sum_i \lambda _i}=\overline{\chi(g)}.$

Usted puede ver que mi prueba de ello depende fuertemente de la existencia de este finito $n$. Por tanto, me pregunto:

Para un elemento $g\in G$ de infinito orden, es cierto que $ \chi(g^{-1})=\overline{\chi (g)}$?

Answer 1

Como regla general, mira ejemplos simples primero. Considere la posibilidad de cualquier nonunitary unidimensional de la representación compleja de su favorito localmente compacto noncompact grupo, $\Bbb R$...

Answer 2

Sugerencia: Tome $G = (\mathbb{Z}, +)$. Considere la posibilidad de la representación $G\to GL(1, \mathbb{C}) = \mathbb{C}^{\times}$, $n \mapsto a^n$. Si $|a| \ne 1$, entonces usted no tendrá la igualdad.