Vamos $x\in\mathbb R$, $x>1$ y $$S(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{\zeta(kx)}{k!}$$ donde $\zeta(x)$ es la de Riemann zeta función. Calcular (o estimación) $S(x)$.
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Lo que uno podría hacer bastante fácil (puro heurística) es obtener una expansión para un gran $x$. La Riemann Zeta función se puede aproximar en este límite por $\zeta(z)\sim 1+\frac{1}{2^z}$
Por lo tanto, nuestra suma lee
$$ S(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta(kx)}{k!}\sim_{x\rightarrow\infty}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k!}+\frac{1}{k! 2^{kx}}=e-2+e^{\frac{1}{2^x}}\sim_{x\rightarrow\infty}e-1+\frac{1}{2x} $$
que encaja muy bien incluso para valores tan pequeños como $x\approx 5$.
Porque la Riemann Zeta función es monótona decreciente para $z>1$ podríamos obligado de la serie en cuestión por la simple estimación de $\zeta(xk)<\zeta(x)$ para obtener
$$ (e-1)<S(x)<\zeta(x)(e-1) $$
que por el sándwich lema de los rendimientos de la misma $x$ límite como el anterior
Yo estaría muy sorprendido si una forma cerrada para esta serie existe, pero quien sabe...:)
Apéndice:
Por un razonamiento similar es posible obtener una aproximación para $x\rightarrow 1_+$. Es bien conocido que en las inmediaciones de $z=1$ la de Riemann Zeta función posee una Laurent expansión de la forma
$$ \zeta(z)\sim_{z\rightarrow 1_+}=\frac{1}{z-1}+\gamma $$
donde $\gamma$ es el de Euler-Marschoni constante. Por lo tanto, $S(x)$ es cleary dominada por el primer término de la suma
$$ S(x)\sim_{x\rightarrow 1_+}\frac{1}{x-1}+\gamma+R(x) $$
Podemos observar que los términos de la resta $R(x)$ se dan asintóticamente por $ \zeta(k)/(k!)$ que es igual a $\gamma$$\mathcal{O}(1)$ . Por lo tanto
$$ S(x)\sim_{x\rightarrow 1_+}\frac{1}{x-1}+\gamma+C $$
resulta ser una muy buena aproximación en este límite ($C=\sum_2^{\infty}\zeta(k)/k!)$. Incluso si $x=1.5$ sólo estamos por algo como $20\text{%}$
