Me ayudan por favor a entender este ejercicio y, probablemente, para resolverlo.
Mostrar que cada número racional positivo $\frac{m}{n}\in (0,1)$ puede ser representado como $$\frac{m}{n} = \frac{1}{q_1} + \frac{1}{q_2} + \cdots + \frac{1}{q_r},$$ donde $q_1 \lt q_2\lt \cdots \lt q_r$ son enteros positivos y $q_i$ es un divisor de a $q_{i+1}$ todos los $i=1,2,\ldots,r-1$.
No entiendo la última parte? Tja, en realidad, no sé, en general, cómo resolverlo.
Encontrar el menor entero $q_1$ con
$$\frac mn\ge\frac1{q_1}\tag1$$
y escribir
$$\frac mn=\frac1{q_1}(1+x)\;.$$
La solución para $x$ rendimientos
$$x=\frac{q_1m-n}n\;.$$
Por $(1)$,$x\ge0$. Desde $q_1$ es el número mínimo para que $(1)$ mantiene, también tenemos
$$\frac mn\lt\frac1{q_1-1}\;,$$
que los rendimientos de
$$q_1m-n\lt m$$
y así
$$x\lt\frac mn\lt1\;.$$
Así tenemos a $x\in[0,1)$. Si nos ligeramente generalizar para incluir a $0$ en el intervalo (con $r=0$), el resultado de la siguiente manera por inducción: $x$ tiene el mismo denominador como $m/n$, pero menor numerador, por lo que si aplicamos el mismo procedimiento a $x$ recursivamente, la recursividad, eventualmente final; la sustitución de los resultados y la multiplicación de todos los paréntesis de los rendimientos de la representación deseada.
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