La función de potencia de la desigualdad

Question

Deje $x$ $p$ ser números reales con a$x \ge 1$$p \ge 2$ . Mostrar que $(x - 1)(x + 1)^{p - 1} \ge x^p - 1$ .

Recientemente he descubierto este resultado. Estoy seguro de que es conocido, pero esto es nuevo para mí. Es muy fácil de probar si $p$ es un número entero, incluso, negativo. Tengo una prueba en el caso general por encima, pero parece demasiado complicado. Alguien puede proporcionar una sencilla demostración?

Answer 1

Deje $f(x) = (x-1)(x+1)^{p-1} - x^p + 1$ y tenga en cuenta que $f(1) = 0$.

Ahora, $$ f'(x) = (p-1)(x-1)(x+1)^{p-2} + (x+1)^{p-1} - p x^{p-1} \>, $$ y la reescritura de los dos últimos términos, obtenemos $$ f'(x) = (p-1)(x-1)(x+1)^{p-2} + x^{p-1}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^{p-1} - p\right) \> . $$

Por la desigualdad de Bernoulli, $$ \left(1+\frac{1}{x}\right)^{p-1} - p \geq 1+(p-1)/x - p = -x^{-1}(p-1)(x-1). $$

Por lo tanto, $$ f'(x) \geq (p-1)(x-1)((x+1)^{p-2} x^{p-2}) \geq 0 \>, $$ y por lo $f(x)$ es no decreciente para $x \geq 1$, lo que produce el resultado deseado.

Answer 2

[Copia de mi respuesta a la misma pregunta en mathoverflow, donde "el Cardenal", señaló la pregunta anterior aparición aquí]

Vamos a comprobar desigualdad estricta para$x>1$$p>2$. Agregar $1$ a ambos lados y dividir por $x^p$ para obtener una equivalente a la desigualdad que puede ser escrito como $$ \frac{x-1}{x} \left(\frac{x+1}{x}\right)^{p-1} + \frac1x \left( \frac1x \right)^{p-1} \geq 1. $$ Desde $p > 2$ la función de $f : X \mapsto X^{p-1}$ es estrictamente convexa hacia arriba. El lado izquierdo es un promedio ponderado de $$ \frac{x-1}{x} f\left(\frac{x+1}{x}\right) + \frac1x f\left( \frac1x \right) $$ de los valores de $f$, con un resultado positivo de pesos y se evalúan en diferentes $X$'s. Por lo tanto, por la desigualdad de Jensen es estrictamente supera el valor de $f$ a la correspondiente media ponderada de $X$'s, que es $$ f\left(\frac{x-1}{x} \cdot \frac{x+1}{x} + \frac1x \cdot \frac1x \right) = f(1) = 1, $$ QED.

El mismo argumento muestra que la desigualdad se cumple para $p<1$, y se invierte para $1 < p < 2$ porque $f$ es cóncava hacia abajo.

Answer 3

Al $x=1$, es trivial. De lo contrario, es equivalente a mostrar $(x + 1)^{p - 1} \ge x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+1$. El binomio de expansión de la mano izquierda .....

Editado, En el caso de $p$ no es entero, es mejor probar $f(x)=(x - 1)(x + 1)^{p - 1}- x^p +1$ es no negativa, esto no es difícil.