Demuestra que la suma es conmutativa usando axiomas, definiciones e inducción

Question

Quería intentar probar la propiedad conmutativa de la suma antes de leer demasiado al respecto y "arruinar" las cosas por mí mismo. Así que estoy curioso de lo cerca que llegué.

Primero, algunos axiomas (enunciados/relaciones que tomamos como verdaderos):

$$\begin{align} 0 &\in \mathbb{N} \tag{$0$ es un número natural} \\ \forall a \in \mathbb{N}, (a &= a) \tag{reflexividad de la igualdad} \\ \forall a,b \in \mathbb{N}, ((a=b) &\implies (b=a)) \tag{simetría de la igualdad} \\ \forall a,b,c \in \mathbb{N}, ((a=b) \land (b=c) &\implies (a=c)) \tag{transitividad de la igualdad} \\ \forall a \in \mathbb{N}, (S(a) &\in \mathbb{N}) \tag{los sucesores son naturales} \\ \forall a,b \in \mathbb{N}, ((S(a)=S(b)) &\implies (a=b)) \tag{???} \\ \forall a \in \mathbb{N}, (0 &\neq S(a)) \tag{$0$ no es un sucesor} \end{align}$$

Y algunas definiciones (¿o también son axiomas? Realmente no puedo comprender cómo se prueba $a + 0 = a$ pero me desvío...):

$$\begin{align} 1 &= S(0) \tag{1 es el sucesor de 0} \\ a + 0 &= a \tag{identidad aditiva} \\ a + S(b) &= S(a + b) \tag{suma de naturales} \end{align}$$

donde $S(a)$ es la función sucesor. No conozco una buena manera de describir esa función pero puedo usar las relaciones de igualdad con la definición de suma, la identidad aditiva y la definición de $1$ para mostrar que:

$$a + 1 = a + S(0) = S(a + 0) = S(a)$$

Esto nos permite usar $S(a) = a + 1$. Ahora quiero probar que $0 + a = a$ (el otro orden de la identidad aditiva):

Caso base: Cuando $a=0$, la identidad aditiva dice que $0 + 0 = 0$ es verdadero, por lo que también podemos escribir $0 + a = a$.

Paso inductivo: Supongamos que $0 + a = a$. Entonces $0 + S(a) = S(0 + a) = S(a)$ y hemos terminado.

Ahora quiero probar que $a + 1 = 1 + a$.

Caso base: $0 + 1 = 1 + 0$ es verdadero ya que $0 + a = a = a + 0$.

Paso inductivo: Supongamos que $a + 1 = 1 + a$. Entonces $a + S(1) = S(a + 1) = S(1 + a) = 1 + S(a)$ y hemos terminado.

Luego, quiero probar que $(a+b)+c = a+(b+c)$.

Caso base: $(a+b)+0 = a + b = a + (b+0)$. Ambos siguen de la identidad aditiva.

Paso inductivo: Supongamos que $(a+b)+c = a+(b+c)$. Entonces $(a+b)+S(c) = S((a+b)+c) = S(a+(b+c)) = a + S(b+c) = a + (b + S(c))$ y hemos terminado.

Finalmente, quiero probar que $a + b = b + a$.

Caso base: Tenemos $a + 1 = 1 + a$ como verdadero, ya que acabamos de demostrarlo.

Paso inductivo: Supongamos que $a+b = b+a$. Entonces $a+S(b) = S(a + b) = S(b + a) = b + S(a) = b + (a + 1) = b + (1 + a) = (b + 1) + a = S(b) + a$. También tenemos $(b+1)+a = (1+b)+a = 1+(b+a) = 1+(a+b) = (1+a)+b = S(a) + b$. Y hemos terminado.

¿Utilicé correctamente los axiomas y definiciones y la inducción para eventualmente probar que la suma es conmutativa?

Answer 1

• No has incluido un principio de inducción en tus axiomas, lo que significa que no se puede obtener ninguna prueba que involucre inducción a partir de ellos. Debido a esta falta de inducción, el conjunto de axiomas que has listado es ligeramente más débil que la aritmética de Robinson. De hecho, la conmutatividad de la adición no es demostrable en esta aritmética.

• No hay razón para probar $a+1=1+a$ en particular cuando tus números naturales comienzan con $0$.

• Tu demostración de la conmutatividad está incompleta: necesitabas mostrar $a+S(b)=S(b)+a$ en tu paso inductivo, pero solo mostraste $a+S(b)=b+S(a)$.

Answer 2

Para obtener una discusión completa sobre esto, lee "Foundations of Analysis" de Landau. Comienza con los Axiomas de Peano y termina con los números complejos.

Búscalo.