Si el cuadrado de un entero es impar, entonces el entero es impar

Question

La declaración es: Si el cuadrado del entero x es impar, entonces x es impar.

Mi libro de texto dice que una prueba indirecta es aplicable aquí, pero se me ocurrió lo siguiente:

1. Declarar que si $x^2$ es impar, entonces $x$ es impar.
2. A continuación, asumimos que $x$ es impar.
3. Sabemos si $x$ es un número entero, entonces $x = 2k+1$ dado algún número entero $k$ .
4. Esto nos da $x^2 = 2k+1$
5. $(2k+1)^2 = 2k+1$
6. Sabemos que el cuadrado de un entero impar es impar y que $2k+1$ es impar porque $k$ es un número entero. Por lo tanto, QED.

¿He pasado algo por alto? ¿Se puede hacer esto con una prueba directa de alguna manera?

Answer 1

La prueba directa tiene que empezar con usted asumiendo $x^2$ es impar, entonces se demuestra que $x$ debe ser impar. Has asumido que ambos $x$ y $x^2$ son impar, y luego se demuestra que "no pasa nada malo", lo cual no es una prueba rigurosa.

Una prueba indirecta (vía contrapositiva) será probablemente más fácil. Nótese que en este caso, el contrapositivo es

"si $x$ no es impar, entonces el cuadrado de $x$ no es impar"

es decir

"si $x$ es par, entonces el cuadrado de $x$ está en paz".

A continuación, puede utilizar las mismas ideas, es decir, puede decir "si $x$ es par, entonces $x = 2k$ para algún número entero $k$ ..."

entonces tienes que demostrar que, si tomas $x^2$ Hay un poco de otros entero $m$ para que $x^2 = 2m$ .

Deberías intentar averiguar qué $m$ es por tu cuenta, pero si sigues atascado después de algún esfuerzo,

$m = 2k^2$

Answer 2

En su paso 2, usted asume $x$ es impar. Pero eso es precisamente lo que hay que demostrar. Usted se propuso demostrar que si $x^2$ es impar entonces $x$ es impar, no que si $x$ es impar, entonces $x^2$ es impar.

Usted dijo $x=2k+1$ y que eso nos da $x^2=2k+1$ . Eso no es correcto. Si $x=2k+1$ entonces $x^2=4k^2+4k+1$ . Tampoco es cierto que $(2k+1)^2=2k+1$ como se afirma en su paso 5.

Answer 3

Estoy de acuerdo con todo en que el planteamiento del libro para los indirectos, es decir, aquí el mejor es el contrapositivo, ya que las otras dos opciones que quedan fuera para el mismo (según mi conocimiento, son la inversa y la inversa), y que cede muy rápidamente y fácilmente también.

Pero, en cuanto a la prueba directa creo que también hay que hacer algún esfuerzo.
WLOG, puede suponer que el número entero es positivo,
Si $\exists k, k' \in \mathbb{Z+}, \,k'\mid 2,\,x^2\,=\,2k+1\,=\,(k'+1)^2$ entonces $x'=k'+1$ .

No tengo claro si la prueba es lo suficientemente rigurosa, pero parece lo suficientemente simple como para despertar la preocupación.