Pregunta sobre la prueba asintótica de la teoría de números

Question

Dejemos que $d(m)$ denotan el número de divisores de $m$ y que $N$ sea un número entero grande. Entonces tenemos $$\sum_{n \leq N}\frac{d(n)}{n} \geq \left(\sum_{n \leq \sqrt{N}}\frac{1}{n}\right)^{2} \sim \log^{2}N.$$ Lo que me impide hacer $$\sum_{n \leq N}\frac{d(n)}{n} \geq \left(\sum_{n \leq N^{1/k}}\frac{1}{n}\right)^{k} \sim \log^{k}N$$ para cada número entero $k$ ?

Answer 1

La primera desigualdad es: $d(n)$ (número de divisores de $n$ ) es como máximo el número de factorizaciones $n=ab$ con $a,b\leq\sqrt{N}$ Lo cual es claramente cierto. Sin embargo, del lado derecho de la segunda desigualdad (sugerida) se obtiene más bien el número de factorizaciones $n=a_1a_2\dots a_k$ con $a_k\leq \sqrt[k]{N}$ y esto es en general mayor que $d(n)$ .

Answer 2

Dejemos que $N=6000$ y $k=4$ .

Entonces $$\sum_{n\le N} \frac{d(n)}{n} = 48.3654245...$$ mientras que $$ \left( \sum_{n \le N^{1/4}} \frac{1}{n} \right)^4 = 54.564037875...$$

Así que tu segunda desigualdad no es cierta en general.