Trigonometría: Simplificar y hallar el valor de $\tan\theta(1-\sec\frac{\theta}{2})(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta)\dots(1-\sec2^{n-1}\theta)$ n = 1,2,3

Question

Problema:

Simplificar y hallar el valor de $\tan\theta(1-\sec\frac{\theta}{2})(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta)\dots(1-\sec2^{n-1}\theta)$ n = 1,2,3

Mi enfoque:

$\tan\theta(1-\sec\frac{\theta}{2})(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta).....(1-\sec2^{n-1}\theta)$ .... (i)

$\tan\theta = \frac{2\tan\frac{\theta}{2}}{1-\tan^2\frac{\theta}{2}}$

=$\frac{2\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}- \sin^2\frac{\theta}{2}}$

Poniendo este valor en (i) obtenemos:

$$ = \frac{2\sin\frac{\theta}{2} \cos\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}- \sin^2\frac{\theta}{2}}(1-\sec\frac{\theta}{2})(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta).....(1-\sec2^{n-1}\theta)$$

$$ =\frac{2\sin\frac{\theta}{2}}{\cos^2\frac{\theta}{2}- \sin^2\frac{\theta}{2}}(\cos\frac{\theta}{2} - \sin\frac{\theta}{2} )(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta).....(1-\sec2^{n-1}\theta)$$

$$ =\frac{2\sin\frac{\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2} + \sin \frac{\theta}{2}}(1-\sec\theta)(1-\sec2\theta).....(1-\sec2^{n-1}\theta)$$

Por favor sugerir si esta es la mejor forma de solucionar esto o podemos utilizar algún otro método... Gracias...

Answer 1

Utilice la siguiente identidad:

$ $1-\sec(2^m\theta)=-(1-\cos(2^m\theta))(\sec(2^m\theta)) =-\frac{2\cos(2^{m-1}\theta)}{cos(2^m\theta)}

La ecuación dada se convierte en:

$\tan(\theta)\frac{(-2)^{n+1}cos(\frac{1}{4}\theta)}{cos(2^{n-1}\theta)}$

Si $n=1$, $4\cos(\theta/4)\tan(\theta)\sec(\theta)$

Si $n=2$, $-8 \cos(\theta/4) \tan(\theta) \sec(2 \theta)$

Si $n=3$, $16 \cos(\theta/4) \tan(\theta) \sec(4 \theta)$