Las raíces del cúbico $x^3+qx+r=0$ son $a,b,c$. Cómo puedo encontrar la ecuación cuyas raíces son $la+mbc,lb+mca,lc+mab$

Question

Las raíces del cúbico $x^3+qx+r=0$ son $a,b,c$.

¿Cómo puedo encontrar la ecuación cuyas raíces son $la+mbc,lb+mca,lc+mab$?

¿Alguien me puede ayudar a solucionar este problema?

Answer 1

A la larga, de la fuerza bruta manera: Expandir $\left(x-(la+mbc)\right)\left(x-(lb+mca)\right)\left(x-(lc+mab)\right)$ para obtener su forma completa como un cúbicos; usted debe encontrar que todos los coeficientes son simétricas funciones de $(a,b,c)$. A continuación, utilice el Teorema Fundamental De los Polinomios Simétricos para expresar los coeficientes en términos de la básica simétrica polinomios $S_1(a,b,c) = a+b+c$, $S_2(a,b,c) = ab+bc+ca$, y $S_3(a,b,c)=abc$. Por último, el uso tradicional de los teoremas en los que expresan los coeficientes de un polinomio en términos de sus raíces (por ejemplo, $r=-abc$) para expresar los coeficientes en términos de$q$$r$.

Answer 2

$la+mbc,lb+mca,lc+mab$ como nuestras raíces significa que

De la ecuación dada tenemos $a+b+c = 0$ ya que el coeficiente de $x^2$ es 0. y $ab+ba+bc =q$

$x^3 + px^2+ qx + r$ (independiente de la ecuación en su pregunta)

$p = l(a+b+c) + m(bc+ca+ab)$

$p = l(0) + m(q) = mq$ donde q es el coeficiente de x en la expresión

Del mismo modo (yo no he realmente lo expresó en términos de los coeficientes de su ecuación dada),

$q = (la+mbc)(lb+mca)+(la+mbc)(lc+mba)+lb(mca)(lc+mba)$

$r = (la+mbc)(lb+mca)(lc+mba)$

El polinomio cúbico con estas raíces tiene la forma

$x^3 - (l(a+b+c) + m(bc+ca+ab)))x^2 + ((la+mbc)(lb+mca)+(la+mbc)(lc+mba)+lb(mca)(lc+mba)) x - (la+mbc)(lb+mca)(lc+mba)$