Pida hoy Minuto pregunta de Matemática en la MAA sitio (http://amc.maa.org/mathclub/5-0,problemas/T-problemas/T-web,ia/2005web/tb05-12-ia.shtml), empecé a pensar en la probabilidad de que la suma de los números de rodar en un conjunto de $n$ dados es primo, particularmente la asymptotics como $n\rightarrow\infty$. La heurística sugieren fuertemente que esta es proporcional a $1/\mathrm{ln}\ n$, y, de hecho, que es $1/\mathrm{ln}\ n - O(1/\mathrm{ln}^2n)$, pero me preguntaba cómo iba a ir sobre cómo obtener mejor asymptotics en el segundo término.
Para el registro, la heurística argumento va algo como esto: supongamos que para la concreción causa de la que estamos rodando 6 caras de los dados. Entonces la suma de los dados es de cerca aproximar por una variable normal con media de $\mu=7n/2$ y la varianza $\sigma^2=35n/12$, y desde el PNT dice que la 'probabilidad' de un entero $n$ prime es aproximadamente el $1/\mathrm{ln}\ n$, debemos ser capaces de integrar la probabilidad con respecto a la distribución normal: $$p = {1\over \sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_n^{6n} e^{-\left({(t-\mu)^2\over 2\sigma^2}\right)} {1\over\mathrm{ln}\ t} dt$$ Y desde $1/\mathrm{ln}\ t$ es monótona, el valor de la integral está delimitado por los valores que obtenemos mediante la sustitución de su término en la integral con sus valores máximo y mínimo en el intervalo de integración: $${1\over\mathrm{ln}\ 6n} {1\over \sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_n^{6n} e^{-\left({(t-\mu)^2\over 2\sigma^2}\right)} dt < p < {1\over\mathrm{ln}\ n} {1\over \sqrt{2\pi\sigma^2}}\int_n^{6n} e^{-\left({(t-\mu)^2\over 2\sigma^2}\right)} dt$$ Tanto de las integrales en la última fórmula son esencialmente 1 (por definición), con lo que conseguimos ${1\over\mathrm{ln}\ 6n} < p < {1\over\mathrm{ln}\ n}$; la sustitución de $\mathrm{ln}\ 6n$ $(\mathrm{ln}\ 6 + \mathrm{ln}\ n)$ y el uso de la fórmula binominal da la heurística de aproximación a la que me referí anteriormente. Esto me lleva a un par de preguntas:
- ¿Cómo de seguro es la heurística argumento anterior? Sé que el PNT da buena límites en el número de números primos en un intervalo (en el orden de $n^{1/2}$ aquí, lo que significa, en particular, que el error en el primer conteo sería $O(n^{-1/2})$ y mucho menor que el inverso de registro de los términos de arriba), pero mi teoría analítica de números no es lo suficientemente bueno para saber si 'ponderación' por la distribución normal sería deshacerse de las clásicas pruebas.
- Cómo se podría ir sobre la evaluación de la integral anterior? Obviamente, los límites que yo uso llevarla a un bastante pequeño de la gama, pero parece como si para obtener un segundo mandato, en mi asymptotics yo tendría que ser capaz de, al menos aproximado de la integral, y no hay ninguna obvio trucos que parecen que se había manejar bien...
