¿Si $f(g) = g^k$ es un homomorfismo de un grupo finito $G$ y $k < |G|$ no divide $|G|$ $G$ debe abeliano?

Question

Hubo una pregunta que a demostrar que si un homomorfismo de un grupo finito $f(g) = g^3$ $G$ y $3$ no divide $|G|$, $G$ es abeliano. ¿Esto se extiende a cualquier $k

Answer 1

No, el cuaternión grupo $Q$ $8$ de la orden es no abeliano, pero el quinto mapa de poder es un homomorfismo h $Q\to Q$ (la identidad).

Answer 2

Considere un grupo no abeliano $p$ % exponente $p$, $p$ un primer impar. Por ejemplo el grupo de orden $p^{3}$y exponente $p$ va a hacer.

Entonces $$ (ab) ^ {p +1} = (ab) ^ {p} a b = a b = un ^ {p} un b ^ {p} b = un ^ {p +1} b ^ {p +1}. $$

---

En general, si el $G$ es cualquier grupo finito de exponente $e

Answer 3

Tenemos $(xyx^{-1})^3 = x^3y^3x^{-3}$ por que homomorphism. Al escribir el producto obtenemos $xy^3x^{-1} = x^3y^3x^{-3}$. Por lo tanto, $y^3x^2 = x^2y^3$. Puesto que el $3$ hace la división de la orden de $|G|$, cada elemento en $G$ es un cubo. Por lo tanto, las plazas conmuta con $G$. Ahora escribo $(ab)^3 = a^3b^3$, ampliar, y se trasladan a las plazas, y usted consigue $ab=ba$.

Ahora bien, si tratamos de hacer es más generalmente, si $k$ no divide $|G|$, entonces la afirmación de que cada elemento de a $G$ $k$- ésima potencia de no generalizar. A menos sabemos que $k$ es un primo. Pero incluso si $k$ es un excelente y no divide $|G|$, entonces yo no estoy seguro de cómo a la conclusión de que es abelian. Por ejemplo, si $k=5$, entonces alcanzamos $(b^3a^3) = (ab)^3$, y no estoy seguro si esto es suficiente ya.