¿Sumar o dividir una variable aleatoria por una constante cambia su distribución de probabilidad?

Question

Supongamos que tenemos una variable aleatoria X con una distribución de probabilidad $PDF_X(\mu_x,\sigma_x)$

Considere una variable aleatoria $Y=\frac {X-a}b$ , I sé que la media y la varianza de Y serían

$$\mu_y=\frac {\mu_x-a}b, \sigma_y=\sqrt{ \frac {\sigma_x^2} {b^2} }$$

¿Tendrían X e Y el mismo tipo de distribución de probabilidad (por supuesto con diferente media y varianza)?

Por ejemplo, sé que si X es una variable aleatoria Normal, Y sería de nuevo una variable aleatoria Normal. ¿Es esto cierto para todas las demás distribuciones de probabilidad?

Gracias.

Answer 1

Informalmente, si tenemos una variable aleatoria $X$ y $Y=aX+b$ , donde $a$ y $b$ son constantes y $b\ne 0$ entonces $X$ y $Y$ son parientes cercanos.

Pero las distribuciones de $X$ y $Y$ no necesitan tener el mismo tipo de nombre . Como ha señalado, si $X$ tiene una distribución normal, entonces también la tiene $Y$ . Del mismo modo, si $X$ tiene una distribución uniforme, también lo tiene $Y$ .

Sin embargo, si $X$ tiene una distribución binomial, entonces $aX+b$ sólo tiene distribución binomial si $a=1$ y $b=0$ . Se podrían hacer comentarios similares sobre la hipergeométrica, la de Poisson y muchas otras.

El hecho de que si $X$ tiene una distribución binomial, entonces (normalmente) $aX+b$ no tiene ningún significado matemático real. Sólo tiene que ver con el tipo de distribuciones que elija llamar al binomio. La estrecha relación entre $X$ y $aX+b$ se mantiene, aunque no le demos a sus distribuciones el mismo nombre.

Answer 2

$c\cdot X$ no sigue necesariamente la misma familia de distribuciones que $X$ depende de la familia de distribución $X$ pertenece (No es cierto, por ejemplo, para la distribución Beta, pero sí para la Normal).