¿de cuántas maneras de arreglar dado 7 enteros positivos de dos dígitos para que la suma de cada cuatro enteros consecutivos es divisible por 3?

Question

de cuántas maneras puedo poner los números: 21,31,41,51,61,71,81 tal que la suma de cada cuatro números consecutivos es divisible por tres?

Aunque yo no soy un experto en el modulo de matemáticas, yo sé que si fuéramos a tomar MOD 3 en todos los números en la lista, me gustaría conseguir el siguiente orden respectiva:

$0_{21}, 1_{31}, 2_{41}, 0_{51}, 1_{61}, 2_{71}, 0_{81}$ (el subíndice corresponde con lo original número que representa) y claramente si vamos a coincidir con los valores de manera que la suma es múltiplo de tres, los números se suman también sería un múltiplo de tres.

Pero al darse cuenta de que los números deben ser consecutivos y que si toma cualquiera de los cuatro números consecutivos en un conjunto de 7 términos, me quedé atrapado aquí y no sé cómo proceder.

Answer 1

Si desea que las sumas $a_1+a_2+a_3+a_4$ $a_2+a_3+a_4+a_5$ a ser múltiplos de $3$, entonces usted debe tener $a_1\equiv a_5$ mod $3$. Del mismo modo $a_2\equiv a_6$, $a_3\equiv a_7$.

Esto significa que usted necesita a la par de estos números en pares que son iguales mod $3$, y el otro, $a_4$, debe ser $0$ mod $3$ (debido a que hay tres números a los que se $0$ mod $3$).

Por lo que su secuencia, mod $3$, debe ser uno de los siguientes:

• $0,1,2,0,0,1,2$
• $0,2,1,0,0,2,1$
• $1,0,2,0,1,0,2$
• $1,2,0,0,1,2,0$
• $2,0,1,0,2,0,1$
• $2,1,0,0,2,1,0$.

Todos estos trabajos. Una vez que hayas elegido una de estas secuencias se pueden rellenar mediante la sustitución de la $0$s $21,51,81$ en un poco de orden, el $1$s $31,61$ en un poco de orden, y el $2$s $41,71$ en un cierto orden. Hay, por tanto, $6\times6\times2\times2=144$ maneras de hacer esto en total.