¿Hay un conjunto de "métodos" para el cálculo de $\operatorname{Ext}$ en algunos casos especiales? Por ejemplo, estaría interesado en el cálculo de $\operatorname{Ext}{\mathbb{Z}}^n (\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/3\mathbb{Z})$. ¿Hay una forma general $\operatorname{Ext}{\mathbb{Z}}^n (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}, \mathbb{Z}/m\mathbb{Z})$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Considere la secuencia exacta $$\def\Z{\mathbb{Z}}\def\H{\operatorname{Hom}_{\Z}} 0\a \Z\xrightarrow{\mu_k}\Z\a\Z/k\Z\to0 $$ donde $\mu_k$ es "la multiplicación por $k$". La aplicación de la functor $\H(-,\Z/m\Z)$ da la exacta secuencia de \begin{multline} 0\to\H(\Z/k\Z,\Z/m\Z)\to \H(\Z,\Z/m\Z)\xrightarrow{\mu_k}\H(\Z,\Z/m\Z)\to\\ \to\operatorname{Ext}_{\Z}^1(\Z/k\Z,\Z/m\Z)\to 0=\operatorname{Ext}_{\Z}^1(\Z,\Z/m\Z) \end{multline} que puede escribirse como $$ 0\a\H\Z/k\Z\Z/m\Z)\a \Z/m\Z\xrightarrow{\mu_k}\Z/m\Z\a \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\Z/k\Z\Z/m\Z)\to0 $$ Ahora es sólo una cuestión de computación en la cokernel de la multiplicación por $k$$\Z/m\Z$. Su imagen es $(m\Z+k\Z)/m\Z=d\Z/m\Z$ donde $d=\gcd(k,m)$, por lo que el cokernel es $\Z/d\Z$. Así $$ \operatorname{Ext}_{\mathbb{Z}}^1(\Z/k\Z\Z/m\Z) \cong \Z/\gcd(k,m)\Z $$ En el caso particular de $k=4$$m=3$, la Ext grupo es cero: cualquier extensión por $\Z/4\Z$ $\Z/3\Z$ se divide, que también se puede comprobar directamente.
La mayor Ext grupos son cero, ya que $\Z$ es hereditaria.
