Soluciones de $q=\frac{x}{y} +\frac{y}{z} + \frac{z}{x}$ s.t. $q \geq 3$

Question

Es cierto que para cada racional $q \geq 3$ , la siguiente ecuación tiene una solución a través de $\mathbb N$ ?

$$q=\frac{x}{y} +\frac{y}{z} + \frac{z}{x}$$

Answer 1

El problema

$N=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

con $N,x,y,z \in \mathbb{Z}$ fue considerado por Andrew Bremner y Richard Guy en "Dos más a la representación de los problemas", publicado en las Actas de la Sociedad Matemática de Edimburgo, vol. 40 págs. 1-17 en 1997. Una copia en línea está disponible aquí. Ellos se mostraron soluciones sólo se produjo por los $N$ cuando la curva elíptica

$t^2=u^3+N^2u^2+8Nu+16$

tiene rango, al menos,$1$.

Para las pequeñas $N>0$, la primera solución es $N=6$, con $x=18$, $y=4$ y $z=3$.

Answer 2

Arce código que busca soluciones en el rango específico :

for q from 4 to 30 do
for x from 1 to 200 do
for y from 1 to 200 do
for z from 1 to 200 do
if x/y+y/z+z/x=q then
print(q,x,y,z);
end if;
end do;
end do;
end do;
end do;

Para $~q=9~$ ;$~(x,y,z)=(12,63,98)$