Gama de $f(x)=\left[\frac{[x]}{x}\right]$

Question

¿Cuál es la gama de $$f(x)=\left[\frac{[x]}{x}\right]?$$

Mi libro de texto dice que la respuesta es el conjunto de dos puntos $\{0,1\}$ lo que creo que significa que el rango es $0$ o $1$ . Cuando grafico la función en mi TI-nspire CX, obtengo una gráfica que tiene puntos cuya $y$ los valores son efectivamente $0$ y $1$ pero el gráfico también tiene puntos cuyo $y$ los valores no son $0$ ni $1$ . Un ejemplo de ello es el punto $(-0.5,2)$ . No entiendo esto

Answer 1

Supongo que el libro de texto dice que para $\,x \gt 0\,$ en cuyo caso se mantiene porque:

$$ 0 \le \lfloor x \rfloor \le x \quad\implies\quad 0 \le \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \le 1 \quad\implies\quad \left\lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{x} \right\rfloor \in \{0,1\} $$

Sin embargo, para los números negativos, todos los enteros positivos están incluidos en el rango, ya que para $\,\forall n \in \mathbb{N}\,$ :

$$\;\displaystyle\left\lfloor \frac{\lfloor 1/n \rfloor}{1/n} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{-1}{1/n}\right\rfloor = \lfloor n \rfloor = n $$