Pegado con la integral de la $\int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(a t+b)}{at+b} \right)^2 \, dt$

Question

Estoy atascado con la siguiente integral:

$$\int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(a t+b)}{at+b} \right)^2 \, dt$$

Me gustaría mostrar que $\varphi(t)=\frac{\sin(at+b)}{at+b}$ pertenece a $L^2(\mathbb{R})$ y/o $L^1(\mathbb{R})$, es decir, $\int_{-\infty}^\infty | \varphi |^2 \,dt < \infty$ y/o $\int_{-\infty}^\infty | \varphi | \,dt < \infty $.

Hasta ahora, sé que es $|\frac{\sin(at+b)}{at+b}| \leq |\frac{1}{at+b}|$, pero como $\int_{-\infty}^\infty |\frac{1}{at+b}|^2 \, dt$ no converge, no puedo ser concluyente. Buscando en la parcela se puede afirmar que converge y, a continuación,$\varphi \in L^2(\mathbb{R})$.

Answer 1

En virtud de lo obvio de sustitución, $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2(a+b)}{(a+b)^2}\,dt =\frac1{|a|}\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2 t}{t^2}\,dt.$$ El integrando es limitada cerca de cero, y $O(t^{-2})$ en el infinito, por lo que la integral converge.

Por una de esas coincidencias asombrosas, $$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2 t}{t^2}\,dt =\int_{-\infty}^\infty\frac{\sen t}{t}\,dt=\cdots$$ un muy bien conocido integral.

Answer 2

Otra estrategia: una vez que la integral original ha sido reducido a $\frac{2}{|a|}\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx$, uno puede invocar $\mathcal{L}(\sin^2 x)(s)=\frac{2}{s(4+s^2)}$ $\mathcal{L}^{-1}\left(\frac{1}{x^2}\right)(s)=s$ a reducir aún más a $$ \frac{4}{|a|}\int_{0}^{+\infty}\frac{ds}{s^2+4} = \frac{\pi}{|a|}.$$

Answer 3

Una estrategia estándar es$$\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^2 y}{y^2}dy=\int_{-\infty}^\infty\frac{e^{2iy}+e^{-2iy}-2}{-4}\int_0^\infty ze^{-zy}dzdy=\int_{-\infty}^\infty\frac{\frac{z}{z-2i}+\frac{z}{z+2i}-2}{-4}dz.$$voy a dejar el resto para usted.

Answer 4

Finalmente me salió con esta solución:

Yo calcula la transformada de Fourier de $\varphi(t)$, la cual es: $$\hat{\varphi}(w) = \sqrt{\frac{\pi}{2} } \frac{e^{iwb/a}}{a}\chi_{[-a,a]}(w)$$

Luego me enteré de que es bandlimited, y como $\varphi \in L^2(\mathbb{R})$, $\varphi$ vive en el Paley-Wiener espacio de $PW_{a}$. Por lo tanto, como en $L^2[-a,a]$ la transformada de Fourier es un operador unitario, se tiene que:

$$\langle x,y \rangle = \langle \mathcal{F}x, \mathcal{F}y \rangle$$ así, $$I = \int_{-\infty}^{+\infty}{\left( \frac{sen(at+b)}{at+b} \right)^2 dt}$$

y: $$I = \langle \varphi, \varphi \rangle_{L^2({\mathbb{R}})} = \langle \hat{\varphi}, \hat{\varphi}\rangle_{L^2[-a,a]} = \frac{\pi}{2} \frac{1}{a^2} ||\chi_{[-a,a]}||^2 = \frac{\pi}{2} \frac{2a}{a^2} = \frac{\pi}{a}$$