Cómo encontrar el polinomio mínimo

Question

$$A=\left(\begin{array}{ccccc} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \end{array}\right)$$

Sé que el polinomio característico es $(\lambda-4)^3(\lambda-9)^2$ Sé que el polinomio mínimo puede ser un mínimo $(\lambda-4)(\lambda-9)$ y $(\lambda-4)^3(\lambda-9)^2$ como máximo.

La matriz es $\text{diagonal}(J_2(4),J_1(4),J_1(9),J_1(9))$

¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

Tenemos

$(A-4I)e_1 = 0$

$(A-4I)e_2 = e_1 \ne 0 $ y $(A-4I)^2 e_2=0$ .

$(A-4I)e_3 = 0$

$(A-9I)e_4 = 0$

$(A-9I)e_5 = 0$

Por lo tanto, $(A-4I)(A-9I)\ne0$ pero $(A-4I)^2(A-9I)=0$ .

Así, el polinomio mínimo de $A$ es $(\lambda-4)^2(\lambda-9)$ .

Answer 2

El polinomio mínimo tiene un factor $(x - \lambda)^m$ si el bloque más grande con el valor propio $\lambda$ en la forma de Jordan es del tamaño $m\times m$ .

En su caso, el tamaño del bloque más grande con el valor propio $4$ es $2\times 2$ y el tamaño del bloque más grande con el valor propio $9$ es $1\times 1$ .

Por lo tanto, el polinomio mínimo es $$(x-4)^2(x-1)$$

Answer 3

La matriz dada es una matriz diagonal de bloques con bloques $\begin{bmatrix} 4&1 \\ &4\end{bmatrix}$ , a $2\times 2$ seguido del bloque $1\times 1$ bloques, $[4]$ , $[9]$ , $[9]$ . La multiplicación y la suma se pueden hacer "en los bloques". Un polinomio aniquila (por la acción obvia) $A$ si lo hace para/en cada bloque.

Así que estamos buscando el mínimo divisor (polinómico,) del polinomio característico $(X-4)^3(X-9)^2$ que mata todos los bloques. El primer bloque es eliminado por $(X-4)^2$ . Los siguientes respectivamente por $(X-4)$ , $(X-9)$ , $(X-9)$ . El mínimo común múltiplo de ellos es $$(X-4)^2(X-9)\ .$$