Cómo encontrar el polinomio minimal

Question

$$A=\left(\begin{array}{ccccc} 4 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 9 \end{array}\right)$$

Sé que el polinomio característico es $(\lambda-4)^3(\lambda-9)^2$ Sé que el polinomio mínimo puede ser al menos $(\lambda-4)(\lambda-9)$ y como máximo $(\lambda-4)^3(\lambda-9)^2$.

La matriz es $\text{diagonal}(J_2(4),J_1(4),J_1(9),J_1(9))$

¿Cómo puedo continuar?

Answer 1

Tenemos

$(A-4I)e_1 = 0$

$(A-4I)e_2 = e_1 \ne 0$ y $(A-4I)^2 e_2=0$.

$(A-4I)e_3 = 0$

$(A-9I)e_4 = 0$

$(A-9I)e_5 = 0$

Por lo tanto, $(A-4I)(A-9I)\ne0$ pero $(A-4I)^2(A-9I)=0$.

Así, el polinomio minimal de $A$ es $(\lambda-4)^2(\lambda-9)$.

Answer 2

El polinomio mínimo tiene un factor $(x - \lambda)^m$ si el bloque más grande con el valor propio $\lambda$ en la forma de Jordan es de tamaño $m \times m$.

En tu caso, el tamaño del bloque más grande con el valor propio $4$ es de $2 \times 2$, y el tamaño del bloque más grande con el valor propio $9$ es de $1 \times 1.

Por lo tanto, el polinomio mínimo es $$(x-4)^2(x-1)$$

Answer 3

La matriz dada es una matriz diagonal por bloques con bloques $\begin{bmatrix} 4&1 \\ &4\end{bmatrix}$, un bloque de $2\times 2$, seguido por los bloques de $1\times 1$, $[4]$, $[9]$, $[9]$. La multiplicación y la adición pueden ser realizadas "en los bloques". Un polinomio aniquila (por la acción obvia) a $A$, si lo hace para/cada bloque.

Entonces estamos buscando el divisor minimal del polinomio característico $(X-4)^3(X-9)^2$ que anule todos los bloques. El primer bloque es anulado por $(X-4)^2$. Los siguientes respectivamente por $(X-4)$, $(X-9)$, $(X-9)$. El mínimo común múltiplo de ellos es $$(X-4)^2(X-9)\ .$$