¿Cómo demostrar que una función es un mapa de cobertura?

Question

Estoy aprendiendo geometría diferencial. El problema es que no puedo encontrar algunos ejercicios resueltos por lo que es un poco difícil de entender cómo puedo resolverlos.

Encontré este ejercicio en la web: Deja que $B = \{(u,v)\ |\ u^2+v^2 \leq 1\}$ y $S^2 = \{(x,y,z)\ |\ x^2+y^2+z^2=1\}$ . Dejemos que $f:S^2\rightarrow B,\ f(x,y,z) = (x,y)$ . Compruebe si $f$ es un mapa de cobertura.

Empezando por la definición en mi mente ( http://mathworld.wolfram.com/CoveringMap.html ), realmente no sé cómo empezar o qué debo hacer para comprobarlo.

¡Muchas gracias!

Answer 1

$f$ no es un mapa de cobertura

$f$ es continua y sobreyectiva. La cuestión para $f$ para ser un mapa de cobertura surge en los puntos que están en la frontera del disco $B$ .

Por ejemplo $(1,0) \in B$ . Cualquier subconjunto abierto de $B$ que contiene $(1,0)$ contendrá un subconjunto abierto $U = \{p \in B ; \Vert p-(1,0) \Vert < r\}$ con $r < 1/2$ .

Si usted denota $C$ el círculo $x^2+y^2=1$ , entonces para $p \in U \cap C$ , $f^{-1}(p)$ sólo tiene un punto. Sin embargo, $f^{-1}(p)$ tiene dos puntos para $p \in U \setminus C$ . Por lo tanto, $f$ no puede ser un mapa de cobertura.

Answer 2

Te recomiendo que estudies cualquier libro sobre este tema (por ejemplo http://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/maybook.pdf ). Pero si se toma el artículo de wolframio y creer lo que dice (las pruebas no son difíciles, pero no se dan allí), entonces verá que el número cardinal $f^{-1}(y)$ debe ser independiente de $y$ para una cobertura $f$ . Ahora considere su ejemplo y calcule $f^{-1}(y)$ para $y = (0,1)$ y $y = (0,0)$ .