Probabilidad de obtener 6 k veces seguidas

Question

¿Cuál es la probabilidad de obtener $6$ $K$ veces seguidas al lanzar un dado N veces?

Pensé que era $(1/6)^k*(5/6)^{n-k}$ y que los tiempos $N-K+1$ ya que hay $N-K+1$ formas de colocar una matriz de elementos consecutivos a $N$ lugares.

Answer 1

A continuación, por comodidad, escribo $p$ para $\frac{1}{6}$ y $q$ para $\frac{5}{6}$

Dejemos que $A_{K,N}$ denotan el caso de que entre los primeros $N$ lanza allí es una fila consecutiva de $K$ seis.

Que el $F$ -La quinta tirada es la primera tirada que no da un seis, por lo que $P\left(F=r\right)=p^{r-1}q$ .

Entonces $P\left(A_{K,N}\mid F=r\right)=1$ si $r>K$ y $P\left(A_{K,N}\mid F=r\right)=P\left(A_{K,N-r}\right)$ de lo contrario.

Más información en $P\left(A_{K,N-r}\right)=0$ si $K>N-r$ .

Así que para $K\leq N$ encontramos:

$$P\left(A_{K,N}\right)=\sum_{r=1}^{\infty}P\left(A_{K,N}\mid F=r\right)P\left(F=r\right)=\sum_{r=1}^{K}P\left(A_{K,N-r}\right)p^{r-1}q+p^{K}$$

A partir de esta igualdad con la inducción se puede demostrar que:

$$P\left(A_{K,N}\right)=p^{K}\left(1+\left(N-K\right)q\right)\text{ for } N\in\left\{ K,K+1,\dots,2K\right\} $$ (que no es válido para $N>2K$ ).

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Vea también esto pregunta que fue planteado por mí en una ocasión.

Answer 2

Esto es realmente un comentario largo, pero he pensado que sería un lío escribirlo como comentario:

Por favor, aclare su pregunta con, al menos, los siguientes datos (algunas de las respuestas están en los comentarios):

1. ¿La carrera de $6$ de la necesidad de ser el único $6$ en la cadena? Si $k=2$ , lo haría $6656$ ¿se puede permitir?

2. ¿Puede la carrera de $6$ sea más largo que $k$ ? Si $k=2$ , lo haría $6665$ ¿se cuenta?

3. ¿Se puede tener más de una tirada de $6$ en la cadena? Si $k=2$ , lo haría $66566$ ¿se puede permitir?

Answer 3

Digamos que X es una variable aleatoria para trazar el número de 6s. Digamos que C es la condición para que los 6s sean consecutivos. Como la tarea es encontrar la probabilidad de obtener al menos K 6s consecutivos, podemos buscar la probabilidad del suceso A -al menos K 6s consecutivos- de esta manera P(A)=P(X=K|C)+P(X=K+1|C)+...+P(X=K+N|C)+..., donde P(X=K|C) es la probabilidad de que caigan K 6s bajo la condición de que sean consecutivos. Como el suceso de que hayan caído K 6s es independiente del suceso de que todos los 6s estén en orden, podemos decir que: P(X=K|C)=P(X=K)*P(C). ¿Es esta la forma correcta de proceder?

Editar: No me parece correcto porque los eventos SON independientes, porque tienen que caer K 6s para que sean consecutivos.