Si $\lambda_n \sim \mu_n$, es cierto que $\sum \exp(-\lambda_n x) \sim \sum \exp(-\mu_n x)$$x \to 0$?

Question

Si $\lambda_n,\mu_n \in \mathbb{R}$, $\lambda_n \sim \mu_n$ como $n \to +\infty$, e $\mu_n \to +\infty$$n \to +\infty$, es cierto que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\lambda_n x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\mu_n x) $$ como $x \to 0^{+}$?

En otras palabras, es cierto que $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\lambda_n x)}{\sum_{n=1}^{\infty} \exp(-\mu_n x)} = 1? $$

Tenga en cuenta que desde $\mu_n \to +\infty$ también debemos tener $\lambda_n \to +\infty$ para asegurarse de que $\lambda_n \sim \mu_n$$n \to +\infty$, es decir, que

$$ \lim_{n \to +\infty} \frac{\lambda_n}{\mu_n} = 1. $$

Vamos a suponer también que cada serie converge para todos los $x>0$.

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Creo que esto es cierto (y algunos ejemplos numéricos de acuerdo), pero no puedo ver cómo demostrarlo. El uso de la idea presentada en esta respuesta tenemos un límite superior como

$$ \sum_{n=1}^{\infty} e^{-\lambda n x} \leq \sum_{n=1}^{\infty} e^{-(1-\epsilon)\mu_n x} + O(1) $$

con un análogo de límite inferior, donde el término en $O(1)$ en delimitada de forma independiente de $x$ (pero no depende de $\epsilon$). Así, dividiendo a través de por $\sum_n e^{-\mu_n x}$, realmente estamos interesados en si

$$ \lim_{\epsilon \to 0} \lim_{x \to 0^+} \frac{\sum_{n=1}^{\infty} e^{-(1-\epsilon)\mu_n x}}{\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\mu_n x}} = 1. $$

Si esto fuera cierto, el resultado podría seguir.

A veces, es posible demostrar esto , a posteriori, si sabemos que una elemental forma cerrada o asintótica para $\sum_n \exp(-C\lambda_n x)$ válido para todos los $C$ en un barrio de $1$ pequeñas y $x > 0$, como fue el caso en la segunda mitad de esta respuesta. En esta pregunta, estoy interesado en el caso de que no lo hacemos.

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Se observó por PavelM en los comentarios que muy bien puede ser falso al $\lambda_n$ casi $\log n$.

Definitivamente estoy interesado en la cuestión general. Sin embargo, estoy especialmente interesado en el caso especial donde

$$ \lambda_n \sim a n $$

como $n \to \infty$ para algunas constantes $a > 0$. Cualquier ayuda con este problema específico asimismo, sería muy apreciado.