¿Puede alguien explicarme cómo puede haber diferentes tipos de infinitos?
Estaba leyendo " El hombre que sólo amaba los números " por Paul Hoffman y me encontré con el concepto de infinitos contables e incontables, pero para mí sólo son palabras.
Se agradecería cualquier ayuda.
Infinito es un término sobrecargado que puede significar muchas cosas.
Un uso común no matemático del infinito es para referirse a todo lo que hay en el universo. Esto es pas lo que quieren decir los matemáticos cuando dicen infinito. Eso sería un parentesco con el conjunto de todos los conjuntos, que es un concepto paradójico que no forma parte del discurso matemático.
Los matemáticos utilizarán el infinito como forma de representar un proceso que continúa indefinidamente. Esto es un parentesco con decir "tomar el límite a medida que n va al infinito", lo que se acerca a decir "continuar este proceso indefinidamente".
El infinito también se utiliza para hablar del tamaño. Todos los conjuntos son infinitos o finitos.
La historia no se detiene ahí. Hay algo fundamentalmente diferente entre conjuntos como los puntos de una línea, donde no hay agujeros, y conjuntos como los enteros, donde sí los hay. Ambos son infinitos, pero uno parece más denso que el otro.
Ahí es donde entra todo lo contable e incontable. Los conjuntos infinitos tienen un tamaño, pero no es un número en el sentido tradicional. Es más bien un "tamaño relativo". Las biyecciones son la forma de determinar el tamaño de los conjuntos infinitos, que se explican bien en esta página, así que no repetiré la explicación.
Una explicación más profunda, pero también comprensible, se ofrece en Computability and Logic, de George Boolos.
Puedes ver que hay infinitos números naturales 1, 2, 3, ..., e infinitos números reales, como 0, 1, pi, etc. Pero, ¿son estos dos infinitos lo mismo?
Bien, supongamos que tenemos dos conjuntos de objetos, por ejemplo, personas y caballos, y queremos saber si el número de objetos de un conjunto es el mismo que el del otro. La forma más sencilla es encontrar una manera de que los objetos se correspondan uno a uno. Por ejemplo, si ves un desfile de personas montando a caballo, sabrás que hay tantas personas como caballos, porque existe esa correspondencia uno a uno.
Decimos que un conjunto con infinitas cosas es "contable", si podemos encontrar una correspondencia uno a uno entre las cosas de este conjunto y los números naturales.
Por ejemplo, los números enteros son contables: 1 <-> 0, 2 <-> -1, 3 <-> 1, 4 <-> -2, 5 <-> 2, etc, da tal correspondencia.
Sin embargo, el conjunto de los números reales NO es contable. Esto fue demostrado por primera vez por Georg Cantor. He aquí una prueba utilizando el llamado argumento diagonal .
Esta es una respuesta a la siguiente pregunta marcada como duplicada que redirige aquí: " Hace tiempo que sé que los números infinitos pueden ser de distinto orden, como los enteros (contables), y los reales (incontables). He leído que siempre se puede encontrar un orden superior del infinito dado cualquier orden del infinito. Dado que el infinito es el límite de los números naturales bajo la función sucesora, me gustaría saber si existe un concepto similar para los órdenes del infinito bajo la toma de conjuntos de potencias, si existe una especie de "superinfinito", un límite a los órdenes del infinito. "
Sí, existe tal concepto: el cardinal más pequeño fuertemente inaccesible. A grandes rasgos, es el infinito incontable más pequeño que no se puede alcanzar tomando uniones o conjuntos de potencias de infinitos bajo él, ver aquí http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_cardinal . En general, se cree que la existencia de estos cardinales es independiente de los axiomas estándar de la teoría de conjuntos (ZFC), es decir, que no se puede demostrar ni refutar a partir de ellos. Sin embargo, hay muchos trabajos en los que se postula la existencia de cardinales fuertemente inaccesibles y se ve lo que se puede derivar de ello.
Por supuesto, incluso con tal postulado todavía no se consigue la "infinidad de todos los infinitos", tal concepto es autocontradictorio según la paradoja de Russel, pero el cardinal más pequeño fuertemente inaccesible está en una relación similar a los que están por debajo de él en cuanto a conjuntos de potencias como lo está el cardinal contable en cuanto a sucesores y uniones.
Una simple explicación intuitiva.
¿Cuántos números naturales (enteros) podrías contar? Hay infinitos, pero se pueden contar. Se llama Conjunto contable .
¿Cuántos números reales hay? Infinitamente también (Ya que al menos cada Número Natural es un Número Real).
Sin embargo, no podrá contarlos (Intuitivamente, digamos que nombra un número el primero, y luego encuentra el segundo, puedo, seguro, encontrar un número en medio, su media que es Número Real también). Se llama Conjunto incontable .
Lo que se busca es cómo definir el tamaño de un conjunto determinado.
Entonces debe buscar Cardinalidad .
Bien, si alguien te pide que cuentes el conjunto de números naturales, ¿cuál sería tu planteamiento? Empiezas por el '1' y luego debes pensar en el siguiente INMEDIATO Número natural. ¡Sí! Es el '2' y luego el siguiente es el '3'... y así sucesivamente.
Aquí podemos ver que porque tenemos el por defecto idea de "el siguiente inmediato en el conjunto" podemos contar el conjunto de los números naturales. Además nuestro conteo puede ser eterno por lo que tiene la Infinito contable .
Por otro lado, digamos que si se pone a contar un conjunto de números reales >= 1, & entonces si empezamos de nuevo desde '1' entonces NO tiene alguna idea sobre el siguiente número Real INMEDIATO a '1', ¿Por qué?
Editar: La gente está argumentando que en el caso de los números racionales también, no podemos encontrar el 'siguiente', pero si nos fijamos en la esta tabla, racionales_son_contables podemos ver que, por supuesto, podemos encontrar un "siguiente" en el escenario, sin perder ninguna posible racionalidad también. Una configuración similar es imposible en el caso de los Reales.
Usted, por supuesto, tiene la idea de infinito asociada al conjunto elegido, pero simplemente no puede encontrar ¡"el siguiente inmediato en el conjunto"! . Y por lo tanto no se puede contar este, definitivamente infinito conjunto de números reales. (Esta propiedad se denomina La continuidad por Georg Cantor). Así que dicho conjunto tiene Infinito incontable y tiene una cardinalidad de 'c' (por "Continuum").
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