¿Puede alguien explicarme cómo puede haber diferentes tipos de infinitos?
Estaba leyendo " El hombre que sólo amaba los números " por Paul Hoffman y me encontré con el concepto de infinitos contables e incontables, pero para mí sólo son palabras.
Se agradecería cualquier ayuda.
Supón que nadie te ha enseñado los nombres de los números ordinarios. Entonces supongamos que tú y yo acordamos cambiar una fanega de maíz por cada una de mis ovejas. Pero hay un problema, ¡no sabemos contar las fanegas ni las ovejas! ¿Qué hacemos entonces?
Formamos una "biyección" entre los dos conjuntos. Eso es sólo un lenguaje elegante para decir que emparejas las cosas poniendo un celemín al lado de cada una de las ovejas. Cuando hayamos terminado, intercambiamos. Acabamos de demostrar que el número de ovejas es el mismo que el número de celemines sin necesidad de contar.
Podemos intentar hacer lo mismo con conjuntos infinitos. Supongamos que tú tienes el conjunto de los enteros positivos y yo el conjunto de los números racionales y que quieres cambiarme un entero positivo por cada uno de mis racionales. ¿Puedes hacerlo de forma que consigas todos mis números racionales?
Quizá sorprendentemente la respuesta sea afirmativa. Haces los números racionales en una gran cuadrícula con el numerador y los denominadores como las dos coordenadas. A continuación, empiezas a colocar tus "casillas" a lo largo de diagonales de tamaño creciente, ver wikipedia .
Esto dice que los números racionales son "contables", es decir, que se puede encontrar una forma inteligente de contarlos de la forma anterior.
El hecho notable es que para los números reales hay de ninguna manera para contarlos de esta manera. Por muy inteligente que seas no podrás estafarme con todos mis números reales poniendo un número natural al lado de cada uno de ellos. La prueba de ello es el ingenioso " argumento diagonal ."
Hotel Hilbert es una demostración clásica.
Un libro realmente bueno sobre el tema fue escrito por David Wallace Foster, Todo y más: Una historia compacta del infinito
¿Cómo puede haber diferentes tipos de infinitos?
Esto es muy sencillo de ver. Esto se debe a:
Afirmación: Un conjunto dado $X$ y su conjunto de energía $P(X)$ nunca puede estar en biyección.
Prueba: Por contradicción. Sea $f$ sea cualquier función de $X$ a $P(X)$ . Basta con demostrar $f$ no puede ser sobreyectiva. Esto significa que algún miembro de $P(X)$ es decir, algún subconjunto de $S$ no es a imagen y semejanza de $f$ . Considera el conjunto:
$T=\{ x\in X: x\not\in f(x) \}.$
Por cada $x$ en $X$ , ya sea $x$ está en $T$ o no. Si $x$ está en $T$ , entonces por definición de $T$ , $x$ no está en $f(x)$ por lo que el conjunto $T$ no puede ser el conjunto $f(x)$ (porque $x\in T$ pero $x\not\in f(x)$ ). Por otro lado, si $x$ no está en $T$ , entonces por definición de $T$ , $x$ está en $f(x)$ Así que, de nuevo, el conjunto $T$ no puede ser el conjunto $f(x)$ . Acabamos de demostrar que $T$ no es $f(x)$ para cualquier $x$ y así $f$ no es sobreyectiva. Q.E.D.
Por lo tanto, tome cualquier conjunto infinito que desee. Luego toma su conjunto de potencia, su conjunto de potencia, y así sucesivamente. Se obtiene una secuencia infinita de conjuntos de cardinalidad creciente (aquí me estoy saltando un poco; pero un uso del teorema de Schroeder-Bernstein arreglará las cosas).
A infinito contablemente es un conjunto del que se pueden enumerar los elementos $a_1,a_2,a_3,...$
Por ejemplo, el conjunto de todos los números enteros es contablemente infinito, ya que puedo enumerar sus elementos de la siguiente manera:
$0,1,-1,2,-2,3,-3,...$
También lo es el conjunto de los números racionales, pero esto es más difícil de ver. Empecemos por los racionales positivos. ¿Puedes ver el patrón en este listado?
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{2}{2},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},\frac{2}{4},...$
(Sugerencia: suma el numerador y el denominador para ver un patrón diferente).
Este listado tiene muchas repeticiones, por ejemplo $\frac{1}{1}, \frac{2}{2}$ y $\frac{1}{2}, \frac{2}{4}$ . Eso está bien, ya que puedo condensar el listado saltándome las repeticiones.
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{1},\frac{1}{3},\frac{3}{1},\frac{1}{4},\frac{2}{3},\frac{3}{2},\frac{4}{1},\frac{1}{5},...$
Vamos a escribir $q_n$ para el $n$ -ésimo elemento de esta lista. Entonces $0,q_1,-q_1,q_2,-q_2,q_3,-q_3,...$ es un listado de todos los números racionales.
A conjunto contable es un conjunto que es finito o contablemente infinito; un conjunto incontable es un conjunto no contable.
Así, un conjunto incontable es un conjunto infinito que no tiene un listado de todos sus elementos (como en la definición de conjunto contablemente infinito).
Un ejemplo de conjunto incontable es el conjunto de todos los números reales. Para ver esto, se puede utilizar la función método diagonal . Haz otra pregunta para ver cómo funciona esto...
El concepto básico es el siguiente:
La clave para ver esto es utilizar el argumento de la "barra diagonal" tal y como lo planteó originalmente Cantor. Con un infinito contable, se puede crear una lista de todos los elementos del conjunto y asignar a cada uno un número natural diferente. Esto se puede hacer con los naturales (obviamente) y con toda la gama de enteros (incluyendo los números negativos) e incluso con los números racionales (incluyendo las fracciones). No se puede hacer con los reales debido al argumento de la barra diagonal:
Esto muestra una diferencia entre dos conjuntos obviamente infinitos y lleva a la conclusión un tanto aterradora de que hay (al menos) 2 formas diferentes de infinito.
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