Este problema viene del libro de do Carmo en la página 104. Casi lo tengo resuelto pero estoy atascado en un punto. El problema es largo así que intentaré desglosarlo.
Supongamos que $M$ es una variedad riemanniana compacta de dimensión par cuya curvatura seccional es positiva.
Demuestra que cada campo de exterminio $X$ en $M$ tiene una singularidad, es decir, un punto $p$ donde $X_p = 0$ .
Tenemos los siguientes mapas:
$A_{X}: \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ definido por $A_{X}(Z)=\nabla_{Z}X$
$f: M \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(q)=\| X \|_{q}^{2}=\langle X, X \rangle_{q}$ .
Dejemos que $p \in M$ sea un punto crítico de $f$ es decir, donde $df_{p}=0$ . He demostrado el siguiente lema (ejercicio 2 de la p. 104):
Lema: Para cualquier $Z \in \mathfrak{X}(M)$ tenemos en el punto crítico $p$
(i) $\langle A_X(Z),X \rangle_p = 0$
(ii) $ \langle A_X(Z),A_X(Z)\rangle_p = \frac{1}{2}Z_p(Z\langle X,X \rangle)+ R(X,Z,X,Z)(p)$
Vamos a ver un punto $p \in M$ donde $f$ alcanza su mínimo. Supongamos por contradicción que $X_p \neq 0$ . El mapa $A_X$ definido anteriormente induce un mapa $A:T_pM \rightarrow T_pM$ por $A(y)=A_XY(p)=\nabla_Y X(p)$ donde $Y$ es cualquier extensión de $y \in T_pM$ . Sea $E \subset T_pM$ sea ortogonal a $X_p$ .
Quiero demostrar que la restricción $A: E \rightarrow E$ es un isomorfismo antisimétrico.
Obsérvese que del lema (i) se deduce que $A$ realmente da un mapa $E \rightarrow E$ . Ya he mostrado la antisimetría, así que sólo voy a mostrar mi trabajo sobre el isomorfismo. Basta con mostrar que $A: E \rightarrow E$ es inyectiva.
Si $A(y_1)=A(y_2)$ entonces $A(y_1-y_2)=0$ Así pues, dejemos que $Z=Y_1 -Y_2$ donde $Y_1$ , $Y_2$ son extensiones de $y_1$ y $y_2$ . Entonces, utilizando el lema (ii) tenemos
$0=\langle(A(y_1-y_2),A(y_1-y_2) \rangle_p = \langle A_X(Z),A_X(Z) \rangle_p = \frac{1}{2}Z_p(Z\langle X,X\rangle) + R(X,Z,X,Z)(p)$
Por la suposición de la curvatura, $R(X,Z,X,Z)(p)>0$ , por lo que si podemos mostrar $Z_p(Z\langle X, X \rangle) \geq 0$ entonces tendremos una contradicción. Aquí es donde estoy atascado.
