5 votos

Un campo de Killing en una variedad riemanniana compacta $M$ de curvatura seccional positiva tiene una singularidad

Este problema viene del libro de do Carmo en la página 104. Casi lo tengo resuelto pero estoy atascado en un punto. El problema es largo así que intentaré desglosarlo.

Supongamos que $M$ es una variedad riemanniana compacta de dimensión par cuya curvatura seccional es positiva.

Demuestra que cada campo de exterminio $X$ en $M$ tiene una singularidad, es decir, un punto $p$ donde $X_p = 0$ .

Tenemos los siguientes mapas:

$A_{X}: \mathfrak{X}(M) \rightarrow \mathfrak{X}(M)$ definido por $A_{X}(Z)=\nabla_{Z}X$

$f: M \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $f(q)=\| X \|_{q}^{2}=\langle X, X \rangle_{q}$ .

Dejemos que $p \in M$ sea un punto crítico de $f$ es decir, donde $df_{p}=0$ . He demostrado el siguiente lema (ejercicio 2 de la p. 104):

Lema: Para cualquier $Z \in \mathfrak{X}(M)$ tenemos en el punto crítico $p$

(i) $\langle A_X(Z),X \rangle_p = 0$

(ii) $ \langle A_X(Z),A_X(Z)\rangle_p = \frac{1}{2}Z_p(Z\langle X,X \rangle)+ R(X,Z,X,Z)(p)$

Vamos a ver un punto $p \in M$ donde $f$ alcanza su mínimo. Supongamos por contradicción que $X_p \neq 0$ . El mapa $A_X$ definido anteriormente induce un mapa $A:T_pM \rightarrow T_pM$ por $A(y)=A_XY(p)=\nabla_Y X(p)$ donde $Y$ es cualquier extensión de $y \in T_pM$ . Sea $E \subset T_pM$ sea ortogonal a $X_p$ .

Quiero demostrar que la restricción $A: E \rightarrow E$ es un isomorfismo antisimétrico.

Obsérvese que del lema (i) se deduce que $A$ realmente da un mapa $E \rightarrow E$ . Ya he mostrado la antisimetría, así que sólo voy a mostrar mi trabajo sobre el isomorfismo. Basta con mostrar que $A: E \rightarrow E$ es inyectiva.

Si $A(y_1)=A(y_2)$ entonces $A(y_1-y_2)=0$ Así pues, dejemos que $Z=Y_1 -Y_2$ donde $Y_1$ , $Y_2$ son extensiones de $y_1$ y $y_2$ . Entonces, utilizando el lema (ii) tenemos

$0=\langle(A(y_1-y_2),A(y_1-y_2) \rangle_p = \langle A_X(Z),A_X(Z) \rangle_p = \frac{1}{2}Z_p(Z\langle X,X\rangle) + R(X,Z,X,Z)(p)$

Por la suposición de la curvatura, $R(X,Z,X,Z)(p)>0$ , por lo que si podemos mostrar $Z_p(Z\langle X, X \rangle) \geq 0$ entonces tendremos una contradicción. Aquí es donde estoy atascado.

1voto

Ivo Terek Puntos 27665

Hasta ahora lo estás haciendo bien, pero asumiendo sólo eso $p$ es un punto crítico. Puede asumir que $p$ es en realidad un mínimo global, por lo que el hessiano en $p$ es positivo-definido: $$Z_p(Z\langle X,X\rangle) = {\rm Hess}\,f(p)(Z_p,Z_p) \geq 0, $$ con igualdad si y sólo si $Z_p=0$ . ¿Hecho?

0 votos

He demostrado que $p$ es un mínimo global (ver arriba). No veo por qué es igual al hessiano.

0 votos

Recordemos que $${\rm Hess}\,f(p)(Z_p,W_p) = Z_p (W(f))-{\rm d}f_p (\nabla_ZW|_p). $$ Poner $W=Z$ y recuerda que ${\rm d}f_p=0$ .

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X