Las columnas de límite superior y límite inferior proporcionan límites en el personal requerido.

Question

Deje $A$ ser un singulares de la matriz y $\zeta>0$ tal que $A+\zeta I$ es nonsingular.

Suave pregunta: ¿Es cierto que si $\zeta$ es lo suficientemente pequeño, entonces $$(A+\zeta I)^{-1}A \approx I$$ (or $Un(A+\zeta I)^{-1} \approx I$)?

Más precisamente: Vamos a $E:=(A+\zeta I)^{-1}A - I$. Si la respuesta a la anterior (suave) la pregunta es "sí", ¿cuáles son algunos de los conocidos límites en $E$?

Nota. El uso de la condición de número de $\kappa(A)$, un conocido bound es $$ \frac{\Vert(a+B)^{-1} - A^{-1}\Vert}{\Vert A^{-1}\Vert} \le \kappa(A)\frac{\Vert B\Vert}{\Vert\Vert }, $$

pero esta obligado requiere que tanto $A$ $A+B$ son nonsingular. En mi pregunta, $A$ es singular, mientras que $A+B$ es nonsingular.

Answer 1

Tratar algunos casos de prueba triviales, como un $$ = \pmatrix {1 & 0\0 & 0} \implies A(A+\zeta I) ^ {-1} = \pmatrix {(1+ζ) ^ {-1} & 0\0 & 0} $ que está en ninguna parte cerca de la matriz identidad.

Answer 2

Al $A$ es diagonalizable, podemos encontrar un cambio de base $S$ tal que $M = S^{-1}AS$ es diagonal, y además $$ M = \pmatrix{D & 0\\0 &0} $$ donde $D$ es una diagonal y la matriz invertible. Vemos que $$ M(M + \zeta I)^{-1} = \pmatrix{D(D + \zeta yo)^{-1} & 0\\0 &0}. $$ Como $\zeta \to 0$, podemos ver que $M(M + \zeta I)^{-1}$ enfoques de la proyección sobre el rango de $M$ a lo largo del núcleo de $M$. Ya que no hacemos más que aplicar un cambio de base, podemos concluir que $A(A + \zeta I)^{-1}$ enfoques de la proyección sobre el rango de $A$ a lo largo del núcleo de $A$.

Es decir, $A(A + \zeta I)^{-1} \to P$ donde $P$ satisface:

• $P^2 = P$
• $PAx = Ax$ todos los $x$
• $Px = 0 \iff Ax = 0$

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En general, $A(A + \zeta I)^{-1}$ enfoques de la proyección sobre la imagen de $A^n$ a lo largo del núcleo de $A^n$ donde $n$ es el tamaño de la matriz. Esto es si o no $A$ es diagonalizable.

Answer 3

Debe existir algún límite en $E$. Pero ha no cierto que $||E||\to0$ $\zeta\to0$, que parece decir que la respuesta a la pregunta un poco confusa si es $(A+\zeta I)^{-1}A \approx I$ no:

Existe $x\ne0$ $Ax=0$. Por lo tanto, $Ex=-x$, que $||E||\ge1$.