Calcular volumen encerrado por un cilindro y un paraboloide (integración).

Question

Necesito calcular el volumen encerrado por: $$x^2 + y^2 = z, \space y = x^2, \space z=0, \space y = 1$$

La forma del volumen que obtengo me confunde. Es un paraboloide ($x^2 + y^2 = z$) intersectado con un cilindro ($y = x^2$) y limitado por planos específicos de $z$ y $y$. Cuando intenté dibujar esto, vi que el volumen no está limitado por el plano "superior" de $z, por lo tanto parece ser infinito. ¿El profesor nos dio condiciones "incorrectas", por lo que el volumen es infinito?

¿Estoy en lo correcto? Si es así, ¿cómo puedo calcular el volumen si cambio mi condición anterior ($z = 0, \space y = 1$) a $0\le z \le 1$? Intenté abordar este problema "actualizado", pero tampoco tuve suerte.

Cualquier ayuda sería apreciada.

EDITAR: La respuesta, incluida la solución integral, se publicó: ver abajo. Todo el problema fue causado por pensar en el volumen "dentro" del paraboloide, mientras que la tarea era calcularlo "fuera", encerrado por el cilindro.

Answer 1

Primero mira el plano $xy$ (el fondo). La condición limita el área $D$ entre $y=x^2$ e $y=1$. Está acotada en $(x,y)$. Ahora mira lo que sucede a lo largo del eje vertical $z$. Dice: toma esos puntos $(x,y,z)$ que están entre $z=0$ e $z=x^2+y^2$. El conjunto (y el volumen) es finito, está entre dos superficies (plano $xy$ y el paraboloide).

Intenta dividir la integración de la siguiente manera $$ \iint_D\int_{z=0}^{z=x^2+y^2}\,dz\,dxdy. $$

Answer 2

En primer lugar, el volumen no es infinito porque está limitado en $z=2$.
Dibuja la figura en un plano $xy$ en $z=t$ donde $0\leq t\leq2$ y verás que la figura se cierra.
$\int_{0}^{2}S(t)dt$ donde $S(t)$ es el área encerrada por $y=1, y=x^2$ y $x^2+y^2=t$.
Ten en cuenta que deberás considerar dos casos por separado cuando $0\leq t\leq1$ y $1\leq t\leq2$.

Answer 3

Gracias por la ayuda de A.Γ. y Chris2006:

Resulta que el volumen está encerrado y se puede calcular. La respuesta fue aceptada. Usando las pistas dadas allí: $$\int_{-1}^{1} dx \int_{x^2}^{1} dy \int_{0}^{x^2 + y^2} dz = \int_{-1}^{1} dx \int_{x^2}^{1} (x^2 + y^2) dy = \int_{-1}^{1} (x^2 y + \frac{y^3}{3})_{y =(x^2, 1)} dx= \int_{-1}^{1} (x^2 + \frac{1}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3})dx = (\frac{x^3}{3} + \frac{1}{3} x - \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{21})_{x =(-1, 1)} = \frac{88}{105}$$