Hacer la escalera de los operadores de $a$ $a^\dagger$ formulario completo de álgebra?

Question

Es fácil construir cualquier operador (en variables continuas), utilizando el conjunto de operadores $$\{|\ell\rangle\langle m |\},$$ where $l$ and $m$ are integers and the operators are represented in the Fock basis, i.e any operator $\hat M$ can be written as $$\hat M=\sum_{\ell,m}\alpha_{\ell,m}|\ell\rangle\langle m |$$ where $\alpha_{\ell,m}$ are complex coefficients. My question is, can we do the same thing with the set $$\{a^k (a^\dagger)^\ell\}.$$

En realidad, esto se reduce a un solo ejemplo de lo cual sería suficiente. Podemos encontrar los coeficientes de $\alpha_{k,\ell}$ tal que $$|0\rangle\langle 0|=\sum_{k,\ell}\alpha_{k,\ell}a^k (a^\dagger)^\ell.$$ (here $|0\rangle$ is the vacuum and I take $^0=I$)

Answer 1

Teorema: cualquier operador $\mathcal O$ puede ser expresada como una suma de productos de los operadores de creación y aniquilación: $$ \mathcal O=\sum_{n,m\in\mathbb N}^\daga)^n(a)^m c_{nm}\etiqueta{4.2.8} $$ para algunos coeficientes de $c_{nm}\in\mathbb C$.

Este teorema puede ser generalizado a la teoría del campo, donde $a,a^\dagger$ son indexados por los parámetros continuos. La prueba de la generalización en el teorema puede encontrarse en la ref.1.

Las referencias.

1. Weinberg - teoría Cuántica de campos, Vol.1, §4.2.

Answer 2

@Accidental recuerda que este es un teorema. Para ver realmente en sus términos, utilice el infinito representación de la matriz de $a, \quad a^\dagger$ del Mesías clásico de QM, v 1, ChXII, § 5. En concreto, su vacío de proyección operador tiene un 1 en el 1,1 entrada y ceros en todas las demás.

El operador elegido es extraño que representan, pero, puramente formal, el diagonal operador para $N\equiv a^\dagger a$, $$ |0\rangle\langle 0|=(1+N) (1-N) \frac{2-N}{2} \frac{3-N}{3} \frac{4-N}{4} ... $$ iba a hacer el truco, una vez anti-normal ordenado.