La construcción de un campo en el que el polinomio tiene raíz

Question

El problema

Decir que tenemos un campo de $F$ y un polinomio irreducible $g \in F[x]$ grado $\geq 1$. Deje $(g)$ denotar el (máximo) ideal generado por el$g$$F[x]$. A continuación, defina el campo de la extensión de $F_1 = F[x]/(g)$$F$. A continuación, $g$ tiene una raíz $\alpha$$F_1$, siendo la $x + (g)$.

Mi pregunta(s)

• ¿Por qué es $F_1$ un campo de extensión de $F$? No veo cómo el campo $F$ puede estar contenida en un cociente del anillo. Yo no sé que $F_1$ es de campo, porque $(g)$ es un ideal maximal en $F[x]$, por lo que no hay necesidad de explicar esto.
• ¿Por qué es $\alpha$ a raíz de la $g$? Tal vez porque $\pi(g(x)) = g(\pi(x))$ $\pi$ el surjection de$F[x]$$F_1$? Esto sólo funcionaría en mis ojos si $\pi$ 'parches' constantes pero no se a que o no entiendo por qué se debe.

Answer 1

• El natural de mapa de $\iota\colon F\longrightarrow F[x]/(g)$ definido por $\iota(a)=a+(g)$ es inyectiva. Por eso, $\iota(F)$ es isomorfo a $F$ y por lo tanto, a pesar de $F$ no es en realidad un subconjunto de a $F[x]/(g)$, es natural que te vea en $F[x]/(g)$ como una extensión de $F$.
• Debido a $g(\alpha)=g\bigl(x+(g)\bigr)=g(x)+(g)=(g)$, e $(g)$ $0$ elemento $F[x]/(g)$.

Answer 2

Considerar la secuencia de la canónica de morfismos $F\to F[X] \to F[X]/(g) = F_1$. Estos son el anillo de morfismos de modo que el compuesto es así : pero un anillo de morfismos entre los campos es precisamente un campo de morfismos; aquellos que son conocidos por ser inyectiva: de ahí que en realidad tenemos una incrustación $F\to F_1$, lo que nos permite ver las $F_1$ como una extensión de $F$.Llamar a esta incrustación $\iota$, y la incrustación de $F\to F[X]$ es $i$: $\iota = \pi\circ i$

Ahora si $g= \displaystyle\sum_{k=0}^d a_kX^k$,$\iota(g)(\alpha)= \displaystyle\sum_{k=0}^d\iota(a_k)\alpha^k = \displaystyle\sum_{k=0}^d\pi(i(a_k))\pi(X)^k = \pi(\displaystyle\sum_{k=0}^di(a_k)X^k)= \pi(g) = 0$. Por lo tanto $\alpha$ es una raíz de $\iota(g)$.

Pero si nos identificamos $F$ $\iota(F)$ a través de $\iota$ esto significa, precisamente, que el $\alpha$ es una raíz de $g$.

No hay magia sucediendo aquí: queremos encontrar una raíz de $g$ así que añadir un elemento a $F$ (llegamos $F[X]$) y declarar :"este nuevo elemento es una raíz de $g$" (matar a $(g)$ modding)

Answer 3

Hay un bajo presupuesto manera de hacer esto. Usted puede estar familiarizado con la toma de los enteros de Gauss como de 2 en 2 matrices; este es el mismo procedimiento, pero permitiendo que los coeficientes racionales. Ahora que lo pienso de ella, el mismo procedimiento con el número real de los coeficientes da los números complejos.

Supongamos que tenemos un polinomio irreducible sobre los racionales, tales como $$ g(x) = x^3 + x^2 - 2 x - 1. $$ Construimos el "compañero de la matriz" $$ A = \left( \begin{array}{rrr} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{array} \right) $$ La matriz $A$ será el representante de su raíz $\alpha.$ Los elementos del campo, dada racional de los coeficientes de $u,v,w,$ $$ uI + v + w^2 = \left( \begin{array}{rrr} u & v & w \\ w & u + 2 w & v - w \\ v - w & 2v - w & u - v + 3w \end{array} \right) $$

Los números racionales son en esta matriz de anillo como $rI.$ La identidad multiplicativa es $I.$ es obviamente cerrado. La multiplicación de los usos de las identidades $$ A^3 = I + 2 A - A^2 $$ $$ A^4 = -I - A + 3 A^2 $$ No hay divisores de cero desde $x^3 + x^2 - 2 x - 1$ era irreductible. La multiplicación es conmutativa, porque todo es una potencia de $A.$

El anillo es un campo ya pueden encontrar el recíproco de nada distinto de cero, por ejemplo $$ A^{-1} = A^2 + A - 2 I. $$ Finalmente, $\alpha$ es una raíz porque de Cayley-Hamilton.

Answer 4

¿Por qué es $F_1$ un campo de extensión de $F$

Propiamente hablando, $F_1$ no es una extensión de $F$. Sin embargo, no es un trivial de incrustación $f: t \mapsto p(x) =t$, el cual se asigna un elemento de $F$ en el polinomio de grado $0$ con término constante igual a $t$. Usted puede utilizar el cociente mapa para incrustar $f(F)$$F_1$.

¿Por qué es $\alpha$ a raíz de la $g$?

Debido a la incrustación por encima de los mapas de $\alpha$ a la clase de $x$ $g(x)$ es el cero de $F_1$.

Answer 5

En primer lugar, $F$ es isomorfo a $\bar{F}=F+(g)\subset F_1$.

En segundo lugar, y brevemente, $g(x)=0\implies x$ es una raíz de $g$ (en abstracto, algebraicas sentido; como $\mathbb R[x]/(x^2+1)$ es una expresión algebraica de la versión de $\mathbb C$).

Por último recordar que en $F_1$ el papel de la $x$ es jugado por $\bar{x}=x+(g)$... su imagen bajo el cociente mapa...