Convertir en la Fórmula de Sumación de

Question

Tengo la fórmula para encontrar el promedio de tiempo de un algoritmo de búsqueda lineal de la siguiente

\begin{equation*} AT\ =\frac{\ \sum ^{n+1}_{i\ =\ 1} \ \theta ( i)}{n+1}. \end{ecuación*}

La fórmula anterior se ha simplificado para convertirse en la de abajo, no estoy seguro de cómo se ha movido desde que a este. Alguna ayuda? \begin{equation*} AT\ =\ \frac{\theta (( n\ +\ 1) \ \times \ ( n\ +\ 2) \div 2)}{n\ +\ 1}. \end{ecuación*}

Answer 1

Un operador lineal que satisface la siguiente propiedad:

$$\theta(a)+\theta(b) = \theta(a+b)$$

Esto significa que:

$$\sum_{i=1}^{n+1}\theta(i) = \theta\left( \sum_{i=1}^{n+1} i \right)$$

caverac respondió acerca de que la suma produciendo $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} = \dbinom{n+2}{2}$.

Answer 2

Usted puede seguir este enlace para una explicación detallada, pero en corto

$$ 1 + 2 + \cdots + k = \frac{k(k + 1)}{2} $$

En su caso $k = n + 1$

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EIDT

Prueba:

Llame a $S = 1 + 2 + \cdots + (k - 1) + k $, ten en cuenta que también se puede escribir en orden inverso $S = k + (k - 1) + \cdots + 2 + 1 $, por lo que

\begin{array}{} S &=& 1 &+& 2 &+\cdots+& (k-1) &+& k\\ S &=& k &+& (k-1) &+\cdots+& 2 &+& 1\\ \hline 2S &=& (k+1) &+& (k+1) &+\cdots+& (k+1) &+& (k+1) \end{array}

Así que usted tiene

$$ 2S = k (k + 1) $$