Me dan una matriz cuadrada ${A}$ (3×3) y la siguiente ecuación ${A}^3-2017{A}^2 + {A} = {0}$ y tengo que encontrar si ${A}$ es invertible en algunos casos, en ninguno o en todos.
Puedo encontrar ${A}=0$ como respuesta para el caso no invertible, pero no consigo resolver la ecuación. En la mayoría de los otros ejemplos que he encontrado, había una matriz de identidad, lo que hizo fácil encontrar el invertible de ${A}$ así: ${A}*invertible=I$ pero este no es el caso.
He intentado hacer esto: $A*(A*(-A+2017*I))=A*I$ pero no creo que pueda dividir ambas partes por ${A}$ porque no he demostrado que ${A}$ es invertible.
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Bueno, ya has demostrado que "todos los casos" no es la respuesta, ya que la matriz $A=0$ es una solución pero no es invertible. Queda por determinar si existe o no alguna matriz invertible $A$ que satisface la ecuación.
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Sí, eso es correcto. Esa es la parte en la que estoy atascado.
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Si le resulta más fácil enfrentarse a una ecuación con $I$ Consideremos lo siguiente: supongamos que existe una matriz invertible $A$ que satisfaga la ecuación y multiplicar ambos lados de la ecuación por $A^{-1}$ . ¿Crees que puedes seguir adelante?
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¿Es la matriz $3\times 3$ ?
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@Bernard sí lo es
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@Fimpellizieri pero multiplicando ambos lados por $A^{-1}$ Estoy usando la matriz invertible de una matriz de la cual estoy tratando de probar que es invertible.
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@RobinDeBaets Obtendrá una nueva ecuación. Si demuestras que esta nueva ecuación sólo tiene soluciones no invertibles, entonces sabrás que la ecuación original no tiene soluciones invertibles. Si demuestras que la nueva ecuación tiene una solución invertible, también habrás encontrado una solución invertible para la ecuación original.
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@RobinDeBaets puedes en vez de multiplicar por $A^{-1}$ factor de salida $A$ y tratar de sacar conclusiones de los espacios nulos de los factores de la matriz.