Distinguir entre simétrica, Hermitian y auto-adjunto operadores

Question

Estoy permanentemente confundido acerca de la distinción entre Hermitian y auto-adjuntos a los operadores, en un infinito espacio tridimensional. La anterior afirmación puede incluso ser mal definidos. Mi confusión es debido a consultar la Wikipedia, en la que la acción tengo la siguiente idea.

Deje $H$ ser un pre-espacio de Hilbert equipado con un producto interior ${\langle}.,.{\rangle}$ $T:D(T){\subset}H{\longmapsto}H$ un operador lineal. Entonces

1. Si ${\langle}Tx,y{\rangle}$=${\langle}x,Ty{\rangle}$ para todos los $x,y{\in}D(T)$ $T$ es simétrica.

2. Si $T$ es simétrica y también acotada , entonces es Hermitian.

3. Si $T$ es simétrica y $D(T)=H$ $T$ es auto-adjunto.

Como corolario, si lo anterior es cierto, entonces un simétrica y auto-adjunto del operador debe ser Hermitian desde un simétrica operador definido en todos los de $H$ debe estar acotada. Por otro lado, un Hermitian operador no tendrá que ser uno mismo-adjoint: no lo sería si su dominio eran un subconjunto estricto de $H$.

La gente está de acuerdo con esto? Yo siempre veo el segundo y el tercero de estos tratados como equivalentes, de ahí mi confusión.

Muchas gracias.

Answer 1

Estas no son las habituales definiciones tal como los conocemos.$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

En primer lugar, sólo estoy familiarizado con la situación que $H$ es un espacio de Hilbert y $D(T)$ es denso en $H$ (que no implica pérdida de generalidad, podemos reemplazar $H$ con la finalización de $D(T)$.)

Yo diría:

1. $T$ es simétrica si $\inner{Tx}{y} = \inner{x}{Ty}$ todos los $x,y \in D(T)$. (Tenga en cuenta que su definición no tiene sentido, porque usted está solicitando $T$ a los vectores que pueden no estar en $D(T)$.)

2. $T$ es Hermitian si es simétrica y acotada. (Si $T$ es acotado, entonces tiene una única limitada extensión a todos los de $H$, por lo que podemos muy bien suponer $D(T) = H$ en este caso). Desde un operador simétrico siempre se pude cerrar, el cierre de la gráfica teorema implica que un operador simétrico con $D(T) = H$ es automáticamente acotada.

3. $T$ es auto-adjunto si el siguiente, más complicado condición se mantiene. Deje $D(T^*)$ ser el conjunto de todos los $y \in H$ tal que $|\inner{Tx}{y}| \le C_y ||x||$ todos los $x \in D(T)$ donde $C_y$ es una constante dependiendo $y$. Si $T$ es simétrica, se puede demostrar que $D(T) \subset D(T^*)$; $T$ se dice que ser uno mismo-adjoint si es simétrica y $D(T) = D(T^*)$.

Con estas definiciones, hemos Hermitian implica la auto-adjunto implica simétrica, pero todas conversar implicaciones son falsas.

La definición de sí mismo-adjoint es bastante sutil y este no puede ser el lugar para una extensa discusión. Sin embargo, me gustaría recomendar un libro de texto, tales como la Caña y Simon Vol. I. tal vez solo voy a decir que simétricas operadores, aunque la definición es simple, no ser bueno para mucho, per se. Uno necesita al menos auto-adjointness para demostrar teoremas útiles.

Answer 2

La definición es bastante simple cuando se dan cuenta de ello. Pero se necesita algún tiempo para darse cuenta de la diferencia. Hay algunas contradicciones con Nate respuesta, pero este es solo una cuestión de terminología.

• $\mathrm T$ es Hermitian si $\forall x,y \in D(\mathrm T) (\mathrm Tx,y) = (x,\mathrm T y)$
• $\mathrm T$ es simétrica si $\mathrm T$ es Hermitian y densamente definido. Entiendo que la única ventaja de simétrica op más de Hermitian está garantizada exitancia de $\mathrm T$'s de cierre.

• $\mathrm T$ es auto-adjunto si $\mathrm T^* == \mathrm T$ donde $\mathrm T^*$ se define como a partir de la siguiente relación$\forall x \in D(\mathrm T) \exists y,z \in \mathbb H: (\mathrm Tx,y) = (x,z)$. El operador $\mathrm T^*: z = T^*y$, y se llama adjunto.

  Para finito-dimensional espacios de todo esto definiciones gire a ser el mismo. Acotada simétrica operadores son esencialmente auto-adjoint (cierre es auto-adjunto).