¿Por qué agregamos un cero al dividendo durante la división larga?

Question

Supongamos que queremos dividir 3 por 2.

Por División Larga primero escribimos 1 como el primer dígito del cociente, luego restamos 2 de 3, luego añadimos un cero al resto 1, y luego agregamos un punto decimal después del cociente 1, luego escribimos 5 después del punto decimal, obteniendo el cociente como 1.5

Sé que es correcto de hecho, como podemos verificar. Pero ¿por qué añadimos un cero y el punto decimal en el cociente?

Gracias.

Answer 1

El principio detrás de la división larga es la resta repetida. Si queremos dividir un número $p$ por un número $q$, lo que estamos intentando hacer es restar la mayor cantidad posible de múltiplos de $q$ de $p$, hasta que la diferencia sea $0$ (si es posible).

Tomemos un ejemplo más complicado para ilustrar. Supongamos que queremos dividir $4101$ por $12$. Queremos restar múltiplos de $12$ de $4101$. Podemos empezar restando múltiplos de $12 \times 10^2 = 1200$, ya que este es un múltiplo grande y simple de $12$. Tenemos $$\begin{align*} 4101 - \color{red}{3} \times 12 \times 10^2 &= 4101 - 3600 = 501 \ge 0 \\ 4101 - \color{red}{4} \times 12 \times 10^2 &= 4101 - 4800 = -699 < 0. \end{align*}$$ Entonces, solo podemos tomar $\color{red}{3}$ veces $12 \times 10^2$ de $4101$ antes de haber tomado demasiado. Cuando lo hacemos, nos queda $501$. Sabemos que no podemos tomar ni siquiera $1$ cantidad de $12 \times 10^2$, así que intentamos una orden de magnitud menos: $12 \times 10^1$. Tenemos $$\begin{align*} 501 - \color{green}{4} \times 12 \times 10^1 &= 501 - 480 = 21 \ge 0 \\ 501 - \color{green}{5} \times 12 \times 10^1 &= 501 - 600 = -99 < 0. \end{align*}$$ Solo podemos tomar $\color{green}{4}$ veces $12 \times 10^1$ de $501$. Nota que, en total tenemos $$4101 - \color{red}{3} \times 12 \times 10^2 - \color{green}{4} \times 12 \times 10^1 = 4101 - \color{red}{3}\color{green}{4}0 \times 12 = 21 \ge 0.$$ De $21$, podemos tomar un solo múltiplo de $12 \times 10^0 = 12$, ya que $$\begin{align*} 21 - \color{purple}{1} \times 12 \times 10^0 &= 21 - 12 = 9 \ge 0 \\ 21 - \color{purple}{2} \times 12 \times 10^0 &= 21 - 24 = -3 < 0. \end{align*}$$ En total, $$4101 - \color{red}{3}\color{green}{4}\color{purple}{1} \times 12 = 9 \ge 0.$$

De los $9$ restantes, $12$ no puede ser restado ninguna cantidad entera positiva de veces sin volverse negativo. Pero, esto no significa que tengamos que detenernos. Tal vez no haya más cantidades enteras de $12$ que quepan en $9$, pero podemos intentar con partes fraccionadas de $12$. Nuevamente, todo lo que hacemos es disminuir un orden de magnitud: $$\begin{align*} 9 - \color{orange}{7} \times 12 \times 10^{-1} &= 9 - 8.4 = 0.6 \ge 0 \\ 9 - \color{orange}{8} \times 12 \times 10^{-1} &= 9 - 9.6 = -0.6 < 0. \end{align*}$$ Entonces, $$4101 - \color{red}{3}\color{green}{4}\color{purple}{1}.\color{orange}{7} \times 12 = 0.6 \ge 0.$$ Una vez más, $$\begin{align*} 0.6 - \color{blue}{5} \times 12 \times 10^{-2} &= 0.6 - 0.6 = 0 \ge 0 \\ 0.6 - \color{blue}{6} \times 12 \times 10^{-2} &= 0.6 - 0.72 = -0.12 < 0. \end{align*}$$

Eso es, $$4101 - \color{red}{3}\color{green}{4}\color{purple}{1}.\color{orange}{7}\color{blue}{5} \times 12 = 0 \implies \frac{4101}{12} = \color{red}{3}\color{green}{4}\color{purple}{1}.\color{orange}{7}\color{blue}{5}.$$

Espero que esta respuesta transmita una mejor comprensión de la lógica detrás de todo esto. El punto decimal en cuestión se introduce alrededor de donde restamos dos números con una cantidad diferente de lugares decimales. Por ejemplo, cuando calculamos $$9 - 8.4 = 0.6 \ge 0.$$

Answer 2

Ya sea que escribas el punto decimal y el cero desde el principio, o después de darte cuenta de que los necesitas, no importa. Siempre están "ahí".

O, solo por precaución, podrías haber escrito $3.0000000000$, que era más ceros de los que "necesitabas" para resolver este problema.

Answer 3

Los decimales tienen infinitos dígitos en ambas direcciones; cuando solo escribimos finitos de ellos, la intención es que cada lugar no escrito tenga un cero.

Cuando hacemos la división larga de la manera que indicas, en realidad tenemos que usar algunos de los lugares que habíamos dejado sin escribir previamente. Así que escribimos los ceros.

Answer 4

No añadimos cero, porque ya está allí.

Sólo lo mostramos, al igual que al reemplazar $3$ con $3.0$,
o $0.01$ con $0.010000$ etc.

Answer 5

La división entera de $3$ por $2$ da como resultado el cociente $1$ y el residuo $1$.

La división entera de $30$ por $2$ da como resultado el cociente $15$ y el residuo $0$.

Por lo tanto, la división de $3.0$ por $2$ da como resultado el cociente $1.5$ y el resto $0.0$.