Un tercer orden no lineal de ecuación diferencial ordinaria.

Question

¿Cómo podemos solucionar $$y'''(t)+a(y''(t))^2+b(y'(t))^3=0$$

Se podría hacer algún tipo de mínimo común denominador argumento para decidir posibles sustituciones? Dado que la regla de la cadena se vienen en el juego, supongo que una sustitución, tanto para la variable $t$ y la función de $y$ podría ser útil. Posiblemente algunos poderes de ellos?

Answer 1

Como Adrian sugiere, vamos a $y'=z$, para obtener la ecuación de segundo orden $$z"+\, (z')^2+b\,z^3=0.$$ Dado que la variable independiente $t$ no aparecen de forma explícita en la ecuación (estoy asumiendo $a$ $b$ son constantes), nos vamos a $$z'=p,\quad z"=\frac{dp}{dt}=\frac{dp}{dz}\,\frac{dz}{dt}=p\,\frac{dp}{dz}.$$ Esto da la ecuación del primer orden $$p\,\frac{dp}{dz}+\, p^2+b\,z^3=0,$$ el que escribe como $$\frac{dp}{dz}= -\, p-b\,z^3\,p^{-1}$$ es una ecuación de Bernoulli. Para solucionarlo, vamos a $u=p^2$. Esto da la ecuación lineal $$\frac{du}{dz}= -\, u-b\,z^3.$$ No he hecho los cálculos, pero mi impresión es que usted no será capaz de obtener una solución explícita en términos de funciones elementales.

Answer 2

$$y'''(t)+a(y''(t))^2+b(y'(t))^3=0$$ Sustituto $z=y'$ $$z''(t)+a(z'(t))^2+bz^3=0$$ Sustituto $p=z'$ $$\frac {dp}{dz}p+ap^2+bz^3=0$$ $$\frac 12(p^2)'+ap^2+bz^3=0$$ Finalmente sustituto $w=p^2$ $$\frac 12w'+aw+bz^3=0$$ La ecuación de Bernouilli

Answer 3

Como una solución más general, si usted tiene una ecuación de la forma $$x''(t) + a(x(t))x'(t)^2+b(x(t)) = 0$$ entonces usted puede hacer la sustitución de $f(x) = x'(t)^2$, para llegar a la ecuación $$\frac{1}{2}f'(x) + a(x)f(x)+b(x)= 0$$ Dejando $\mu(x) = \exp\left[\int a(x) dx\right]$, podemos resolver para $f(x)$: $$f(x) = \mu(x)^{-1}\left(C_1-2\int\mu(x)b(x)dx\right)$$ que puede ser sustituido de nuevo por $x(t)$: $$x' = \mu(x)^{-1/2}\left(C_1-2\int\mu(x)b(x)dx\right)^{1/2}$$ y resuelto de forma implícita: $$C_2 + t - \int \left[ \mu(x)\left(C_1-2\int\mu(x)b(x)dx\right)^{-1} \right]^{1/2} dx = 0$$