¿Por qué no la ecuación cuadrática contener $2|a|$ en el denominador?

Question

Al derivar la ecuación cuadrática, como se muestra en el artículo de Wikipedia sobre la ecuación cuadrática (versión actual) la principal prueba contiene el paso a paso: $$ \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}} $$ la raíz cuadrada es tomado de ambos lados, así que ¿por qué es $$\sqrt{4a^2} = 2a$$ en el denominador y no $$ \sqrt{4a^2} = 2\left |a \right | $$ Podría alguien explicar esto a mí? Muchas gracias

Answer 1

Uno podría tomar la raíz cuadrada como $2|a|$ en lugar de eso, lo que llevaría a:

$$ x+\frac {b}{2a} = \pm{\frac {\sqrt{b^{2}-4ac}}{2|a|}} \quad\ffi\quad x = -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt{b^{2}-4ac}}{2|a|}} \etiqueta{1} $$

Sin embargo, dado que el $\,|a|\,$ es $\,a\,$ o $\,-a\,$ se sigue que $\,\pm|a|=\pm a\,$, por lo que la fórmula se simplifica a:

$$ x = -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt{b^{2}-4ac}}{2|a|}} = -\frac {b}{2a} \pm {\frac {\sqrt{b^{2}-4ac}}{\color{red}{2a}}} = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \etiqueta{2} $$

$(1)\,$ $\,(2)\,$ son totalmente equivalentes, sino $\,(2)\,$ es más conveniente utilizar.

Answer 2

Al tomar la raíz cuadrada ponemos un $\pm$ en el lado derecho de la cuenta para los dos raíces, por lo que es innecesario que la tira fuera el signo de $a$, como vamos a poner de nuevo de todos modos.

Answer 3

Las dos raíces cuadradas de $a^2$$a$$-a$, a veces escrito juntos como $\pm a$.

Para los números reales $\pm a$ es equivalente a $\pm |a|$, pero esto no es cierto para los números complejos. Por lo que poner el valor absoluto de la operación en haría la prueba menos general.

Podríamos escribir la prueba como

$$ \left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}} $$

$$ \pm\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)={\frac {\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{\pm2a}} $$

$$ x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}} $$

Pero en general se considera suficiente para poner en un solo $\pm$ desde el inicio en lugar de poner en uno de cada cuadrado de la raíz y, a continuación, la eliminación de la redundancia.

Answer 4

Si usted pone $x =\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $ en $ax^2+bx+c$, desde $x^2 =\dfrac{b^2\mp2b\sqrt{b^2-4ac}+(b^2-4ac)}{4a^2} =\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2} $ usted obtener

$\begin{array}\\ ax^2+bx+c &a\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a^2} +b\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+c\\ &=\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a} +\dfrac{-2b^2\pm 2b\sqrt{b^2-4ac}}{4a}+c\\ &=\dfrac{2b^2-4ac\mp2b\sqrt{b^2-4ac}-2b^2\pm 2b\sqrt{b^2-4ac}+4ac}{4a}\\ &=0\\ \end{array} $

Si usas $|a|$, no funciona ya que no se puede combinar los términos.

Answer 5

mi preferencia para recordar y usar la fórmula cuadrática (y los ingenieros eléctricos parece que a menudo) es el recuerdo de la raíz cuadrática ecuaciones como:

$$ x^2 \ + \ b\,x \ + \ c \ = \ 0 $$

que tiene solución:

$$ x \ = \ \begin{cases} -\tfrac{b}{2} \pm \sqrt{\left(\tfrac{b}{2}\right)^2 - c} \qquad & \text{for }\left(\tfrac{b}{2} \right)^2 > c \\ \\ -\tfrac{b}{2} \qquad & \text{for }\left(\tfrac{b}{2} \right)^2 = c \\ \\ -\tfrac{b}{2} \pm i \sqrt{c - \left(\tfrac{b}{2}\right)^2} \qquad & \text{for }\left(\tfrac{b}{2} \right)^2 < c \\ \end{casos}$$

la normalización de la "$a$" no hacer de la ecuación cuadrática menos general. la única grados de libertad se $b$$c$, lo que significa que normalmente (a excepción de una doble raíz), hay dos soluciones independientes.