¿Cómo demostrar que si el determinante de la matriz es cero, entonces al menos un eigenvalor debe ser cero?

Question

Para una matriz $A$, si $\det(A)=0,$ demuestre y proporcione un ejemplo de que al menos un eigenvalor debe ser cero.

En primer lugar, intenté usar la identidad que el producto de los eigenvalores es el determinante de la matriz, por lo que sigue que al menos uno debe ser cero para que el determinante sea cero. ¿Es esto correcto? ¿Podría también probarlo usando $(A-\lambda I)X=0$, para algún $X\neq 0?$

Si $\lambda=0,$ entonces tenemos $AX=0$, pero no puedo decir $\det(A)\cdot \det(X)=0$ porque $X$ no es una matriz cuadrada y no tiene determinante. ¿Cómo continuaría?

Answer 1

Sea $p(x)=\det(A-xI)$ el polinomio característico de $A$. Entonces $p(0)=\det(A)=0$, por lo tanto $0$ es una raíz de $p$ y, por lo tanto, un autovalor de $A

Answer 2

Aquí una forma elemental:

$\det(A) = 0 \Rightarrow$ las columnas de $A = (c_1 \ldots c_n)$ son linealmente dependientes $\Rightarrow$ existe un vector no nulo $v = (v_1 \ldots v_n)^T$ tal que $v_1c_1 + \cdots v_n c_n = \vec{0} \Rightarrow Av = \vec{0} = 0\cdot v \Rightarrow 0$ es un valor propio de $A$.

Answer 3

No sé qué sabes sobre el determinante y cómo lo piensas, pero el determinante de una matriz cuadrada $A$ es cero si y solo si la matriz no es invertible, lo cual es equivalente al núcleo siendo no trivial, lo que significa que $Ax=0$ para algún $x\ne0$.

Answer 4

Dado que la matriz $A$ es sobre un campo y det$A$ es igual al producto de los valores propios, al utilizar una propiedad del campo que si $ab=0 \Rightarrow$ o bien $a=0$ o $b=0.$

Answer 5

El determinante de la matriz $A$ es también el determinante del endomorfismo $\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ (o más generalmente $k^n$) definido por la multiplicación por $A$. Decir que $A$ tiene determinante $0$ es decir que este endomorfismo no es inyectivo.