Newton ' s ley requiere dos condiciones iniciales mientras que la serie de Taylor requiere infinita!

Question

A partir del teorema de Taylor, sabemos que una función del tiempo $x(t)$ puede ser construido en cualquier momento $t>0$ $$x(t)=x(0)+\dot{x}(0)t+\ddot{x}(0)\frac{t^2}{2!}+\dddot{x}(0)\frac{t^3}{3!}+...\tag{1}$$ by knowing an infinite number of initial conditions $x(0),\dot{x}(0),\ddot{x}(0),\dddot{x}(0),...$ at $t=0$.

Por otro lado, sólo se requiere de dos condiciones iniciales $x(0)$$\dot{x}(0)$, para obtener la función de $x(t)$ por la solución de la ecuación de Newton $$m\frac{d^2}{dt^2}x(t)=F(x,\dot{x},t).\tag{2}$$ I understand that (2) is a second order ordinary differential equation and hence, to solve it we need two initial conditions $x(0)$ and $\dot{x}(0)$.

Pero ¿cómo reconciliar (2) que sólo requiere de dos condiciones iniciales con (1) que nos obliga a conocer un número infinito de inicial de información para la construcción de $x(t)$? ¿Cómo es que la información de las derivadas de orden mayor en $t=0$ a ser redundante? Mi conjetura es que, debido a la existencia de la ecuación diferencial (2), todas las condiciones iniciales en (1) no siendo independiente, pero no estoy seguro.

Answer 1

Por otro lado, sólo se requiere de dos condiciones iniciales x(0) y x(0), para obtener la función x(t) mediante la resolución de la ecuación de Newton

Por simplicidad de notación, vamos

$$x_0 = x(0)$$ $$v_0 = \dot x(0)$$

y, a continuación, escribir las ecuaciones como

$$x(t) = x_0 + v_0t + \ddot x(0)\frac{t^2}{2!} + \dddot x(0)\frac{t^3}{3!} + \cdots$$

$$m\ddot x(t) = F(x,\dot x,t)$$

Ahora, a ver que

$$\ddot x(0) = \frac{F(x_0,v_0,0)}{m}$$

$$\dddot x(0) = \frac{\dot F(x_0,v_0,0)}{m}$$

y así sucesivamente. Así

$$x(t) = x_0 + v_0t + \frac{F(x_0,v_0,0)}{m}\frac{t^2}{2!} + \frac{\dot F(x_0,v_0,0)}{m}\frac{t^3}{3!} + \cdots$$

En otras palabras, el valor inicial de la 2ª y mayor el tiempo de la orden de los derivados de la $x(t)$ son determinados por $F(x,\dot x, t)$.

Answer 2

FGSUZ ha dado parte de la respuesta en su comentario, pero no ha dado más detalles.

Considere la posibilidad de $\ddot{x} (t)=F(x,\dot{x},t)$. En este caso la derivada segunda en términos de reducción de los términos de orden. Por lo tanto, puede utilizar esto para eliminar la segunda derivada en favor de un orden inferior de los elementos.

Usted puede tomar el tiempo derivado de esta ecuación. Esto le dará la orden tercera de tiempo derivado de la $x$ en términos de orden inferior derivados. Y usted puede utilizar la primera ecuación y sus derivados para escribir todo en términos de que en la mayoría de la primera derivada.

Así, el orden por el orden, usted puede construir la expansión de Taylor.

Ahora el caso general puede requerir que usted se ocupe de los derivados de la $F(x,\dot{x},t)$. Eso es porque usted necesita el siguiente (si he recordado mi cálculo correctamente).

$$\frac{d^3 x}{dt^3}=\dot{F}(x,\dot{x},t)= \frac{\partial}{\partial x}F(x,\dot{x},t) \frac{dx} {dt} + \frac{\partial}{\partial \dot{x}}F(x,\dot{x},t) \frac{d\dot{x}} {dt} +\frac{\partial} {\partial t}F(x,\dot{x},t)$$

Esto no suele ser explícitamente solucionable. Sin embargo, también puede ser Taylor expandido de una manera similar. Y, en cada fin de mantener solo la correspondiente orden en la expansión de esta ecuación.

Así, el orden por el orden, usted puede construir la serie de Taylor. En cada paso se puede utilizar la ecuación de movimiento para quitar todo, pero la $x$, $\dot{x}$, y $t$ dependencia. Y tan sólo se necesitan dos condiciones iniciales. Tedioso, pero es posible.

El agradable casos son de los pocos donde se puede derivar una fórmula simple que da fácil la recursividad. Así que es posible que, por las formas simples de $F$, conseguir alguna cosa simple que el $(n+1)$ derivada es la función de la $n$ derivados. En tales casos, es potencialmente útil en soluciones numéricas, ya que se puede escribir en términos del paso de tiempo y una buena expansión de Taylor. Sin embargo, incluso en tales casos, a menudo hay métodos más eficaces.

Answer 3

El poder de expansión de la serie no se cumple para todas las funciones $f(t)$ o para todos los $t\in\mathbb{R}$, pero sólo para verdaderos funciones analíticas y de $t$ en el radio de convergencia. En particular, no se sostiene en cualquier punto, por ejemplo, para las funciones de $C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)\smallsetminus C^3(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)$. Por lo tanto, no es posible definir cualquier función, dando countably muchos números reales $(x^{(n)}(0))_{n\in\mathbb{N}}$.

En particular, el de Newton la ecuación puede tener soluciones en $C^2(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)\smallsetminus C^3(\mathbb{R},\mathbb{R}^d)$, que por lo tanto no admiten una alimentación de expansión de la serie, o, en general, las soluciones que no son reales analítica para todos los tiempos, y, por tanto, que no siempre admite una expansión de Taylor. No obstante, estas funciones están definidas de forma exclusiva por dos números reales ($x(0)$, $\dot{x}(0)$) y por la solución de Newton la ecuación (es decir, que también son determinadas por $m$ y la forma funcional $F$ de la fuerza).

En el caso de que una solución de la ecuación de Newton es real analítica, entonces, el valor de las derivadas de orden mayor en cero se determina únicamente por la solución en sí misma, y por lo tanto también dependen sólo de $x(0)$, $\dot{x}(0)$, $m$ y $F$; no hay más conocimiento se requiere.

Answer 4

Larga historia corta, para llegar a la esencia de su pregunta, espero

En primer lugar, algunas funciones no se corresponden con su serie de Taylor en $0$. Pero vamos a ignorar que para esta respuesta.

Pero, lo que es más importante: La serie de Taylor de la representación tiene más grados de libertad, simplemente porque no todas las funciones son soluciones de la ecuación (2)! Esto debería ser bastante obvio si se piensa en ello: Si lanzo una bola, entonces, si usted no sabía nada de la física o de no tener ninguna experiencia en el mundo real, su ruta de acceso podría ser cualquier cosa, podría viajar a Marte y volver a mí, podría vibrar entre dos puntos, se podría dibujar tu nombre en el aire. Si sólo vas a usar (1), no se puede descartar estas posibilidades. Pero una vez que te das cuenta de lo siguiente Newton, las ecuaciones, las posibles rutas de acceso son muy limitadas.

Answer 5

Como un ejemplo, supongamos que tenemos Ley de Hooke, F = -kx. La escritura de la Taylor (técnicamente, Maclaurin, ya que está centrado en cero), como la serie de

$x(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^n}{n!}$

Donde $x^{(n)}$ es la n-ésima derivada de $x$, luego

$x^{(2)}(t) = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^{n-2}}{(n-2)!}$

Cambiando el índice, esto puede ser escrito como

$x^{(2)}(t) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n+2)}(0)t^{n}}{n!}$

Entonces podemos escribir de Hooke la Ley como

$m\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n+2)}(0)t^{n}}{n!} =-k \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{(n)}(0)t^n}{n!}$

Estableciendo como condiciones de igualdad, hemos

$m \frac{x^{(n+2)}(0)}{n!} =-k \frac{x^{(n)}(0)}{n!}$

o

$x^{(n+2)}(0) =\frac{-k}{m}x^{(n)}(0)$

Así que, dado cualquier n, podemos encontrar la (n+2)th coeficiente en términos de la n-ésimo coeficiente. Esto significa que incluso los coeficientes se determinan por el 0 coeficiente, y el extraño coeficientes se determinan a partir del 1 de coeficiente. (Los poderes que corresponden a una solución en términos de coseno, y los extraños poderes que corresponden a una solución en términos de seno, y la solución general es una combinación lineal de las dos.) Esto se conoce como una solución analítica de la educación a distancia. En general, no va a ser tan sencillo como esto. Sin embargo, desde la LHS de Newton la Ecuación tiene sólo un término de segundo orden, y el lado derecho es de primer orden, la (n+2)th coeficiente será capaz de ser expresada en términos de la n y (n+1)th coeficientes, dando el 0 y el 1 coeficientes como las condiciones iniciales.

Así, la clave está en que para polinomios a ser iguales entre sí, los coeficientes de los poderes correspondientes deben ser iguales, y esto puede ser extendido a la serie de Taylor. Esto da una relación de recurrencia dando coeficientes en términos de orden inferior coeficientes, y la infinita serie de Taylor se derrumba a estar determinada por dos coeficientes.