Recordar la asignación de cono de un mapa de $f: X\rightarrow Y$ se define como el espacio $C_f: X\times [0, 1]\dot{\cup} Y/\sim$ donde $\sim$ es la relación de equivalencia dada por $(x, 1)\sim f(x)$ $(x, 0)\sim(x', 0) $ todos los $x, x'\in X$. Mostrar que si $f, g: X\rightarrow Y$ son mapas que $f$ es homotópica a $g$, luego los espacios de $C_f$ $C_g$ son homotopy equivalente.
En el primer intento de resolverlo, he tratado de definir natural mapas entre los $C_f$$C_g$, que podría inducir homotópica inverso el uno del otro, pero no tengo la respuesta. Cuando reviso Hatcher libro `Topología Algebraica", me parece que podría utilizar directamente la proposición 0.18 en la página 17. Pero después de leer la prueba, me parece que todavía no nos ofrece la homotopy inversa mapas entre los $C_f$ $C_g$ directamente.
Por lo tanto, mi primera pregunta es:
Podemos encontrar un natural homotopy equivalencia entre el $C_f$ $C_g$ sin necesidad de utilizar el proceso previsto en la prueba de la proposición 0.17 mencionado anteriormente?
Quiero pedir a un general o suave problema, ya que soy un principiante para aprender topología algebraica, cuando me preguntan a probar algunos espacios son homeomórficos (o homotopy equivalente) o algunos mapas son homotópica, la primera cosa que viene a la mente es aplicar la definición de homeomophism o homotópica, etc, así que tengo que encontrar ciertos mapas buenos, pero parece muy difícil para mí en algunas situaciones, así como la situación anterior.
Tomar otro problema, por ejemplo, demostrar que $\frac{S^1\times [0, 1]\dot{\cup}S^1}{(z, 0) \sim z^2}$ es homeomórficos a la banda de Möbius. Mi primer intento es demostrar $\frac{S^1\times [0, 1]\dot{\cup}S^1}{(z, 0) \sim z^2}$ es homeomórficos a $\frac{S^1\times [0, 1]}{(z,0) \sim(-z,0)}$, esta vez me puede dar el homeomorphism, pero cuando traté de encontrar algún naturales homeomorphism de éstos a la banda de Möbius, que se define como $\frac{[0, 1]\times[0, 1]}{(x, 0)\sim(1-x,1)}$, es muy duro para mí, y finially tengo que hacer un poco de corte y encolado para demostrar que están homeomórficos sin dar un mapa específico.
Por lo tanto, Mi segunda pregunta es:
Hay alguna sugerencia cuando se enfrenta a estas situaciones? Para ser más específico, me refiero a cuando uno intenta encontrar algunas natural mapas, pero no es fácil en absoluto.
