Demostrar la siguiente ecuación polinomial no tiene respuestas

Question

Asumir que hay dos polinomios para que la siguiente ecuación$$P(Q(x))=Q(P(x))$$holds for $x\in\Bbb R$. Also the equation $P(x)=Q(x)$ has no real root. Prove that the following equation$$P(P(x))=Q(Q(x))$$no tiene raíces reales.

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Gracias de antemano!

Answer 1

Desde $P(x) = Q(x)$ no tiene ninguna raíz real, uno de $P,Q$ debe ser estrictamente mayor que el otro, por todos los $x \in \mathbb{R}$.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $P$ es mayor que uno.

A continuación, para todos los $x \in \mathbb{R}$, $$P(P(x)) > Q(P(x)) = P(Q(x)) > Q(Q(x))$$