¿Por qué es $\sqrt [n] 1$ no es una expresión de "radicales" de una raíz de la unidad?

Question

En Edwards, la Teoría de Galois, en el capítulo sobre Cyclotomic polinomios, el autor dedica un gran esfuerzo para demostrar que el primer fin de raíces primitivas de la unidad puede ser expresada "por los radicales", y da el ejemplo:

$$\sqrt[3] 1 = \frac {-1 \pm \sqrt {-3}} {2}$$

Mientras que estoy de acuerdo en que esta se expresa a $\sqrt[3] 1$ el uso de los radicales, no es $\sqrt[3] 1$ ya tal expresión?

Answer 1

Creo que esta es una buena pregunta.

Las raíces de la unidad son especiales - son unidades de finito multiplicativo de la orden. A veces es necesario saber si el contexto tiene "suficiente" (o "el derecho") las raíces de la unidad, por lo que conocer sus propiedades en términos de potencialmente más conceptos primitivos no ayuda. Saber cuando las extensiones de los radicales raíces de la unidad puede ser muy valiosa. La pregunta clave es la más radical de las extensiones de contener las raíces de la unidad, que si las raíces de la unidad son en sí mismos radicales.

Como un ejemplo de cómo se puede obtener en un lío, tenemos $i^4=1$, pero si usted escribe $\sqrt[3]1=\frac {-1\pm i\sqrt 3}2$ lo que permite el uso de $i$ en la expresión de $\sqrt[3]1$? $i$ es en sí mismo una expresión radical sobre $\mathbb Q$ o $\mathbb Z$ (y el suelo de anillo o de campo tiende a importar un poco aquí).

Answer 2

"El número $\alpha$ se expresa en términos de los radicales" significa que hay una cadena:

$$F_n\supset F_{n-1}\supset\cdots\supset F_0=\mathbb Q$$

donde existe un polinomio irreducible $q_i(x)\in\mathbb F_{i-1}[x]$ de la forma $q_i(x)=x^{n_i}-\alpha_i$ tal que $F_i\cong F_{i-1}[x]/\langle q_i(x)\rangle$, e $\alpha\in F_n$.

Eso es bastante definición técnica, pero la palabra clave aquí es "irreductible." $x^3-1$ no es un polinomio irreducible.

Answer 3

el significado no es el número de $1$, pero todas las soluciones a la ecuación de $x^3-1=0$ o $x^n-1=0$ en el caso general.

Answer 4

El teorema fundamental del álgebra nos dice que una expresión como $x^3 - 1$ tiene tres raíces. Pero la mayoría de las veces, cuando escribimos algo como "$\root 3 \of 7$", sólo queremos una raíz, una raíz que es de alguna manera más "principal" que los demás, tales como, por ejemplo, siendo un simple número real positivo. Así que algunos de nosotros acepta explícitamente que $\root b \of a$ representa la principal $b$th raíz de $a$, mientras que otros ni siquiera se dan cuenta que están de acuerdo con esta.

Y así, como $\root 3 \of 8$ significa que 2 y no $-1 + \sqrt{-3}$ ni $-1 + \sqrt{-3}$, $\root 3 \of 1$ significa que 1, y no $-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}$ ni $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{-3}}{2}$. Por lo que el 1 es su propio director raíz cúbica, pero el complejo cúbico raíces son, por supuesto, más interesante, que es por eso que a menudo existe la asignación de $\omega = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}$ ($w$ a veces se utiliza, pero es un pobre sustituto, en mi opinión).

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Se señaló en un comentario que $\sqrt{-3}$ podría considerarse ambigua. Supongo que es, a menos que de acuerdo a la siguiente definición: el director de la raíz cuadrada de un número real negativo, es positivo el número imaginario. Así, el director de la raíz cuadrada de $-3$ es de aproximadamente $\frac{433}{250}i$, e $-\frac{433}{250}i$ es la otra raíz.