Estoy tratando de encontrar algunas buenas pruebas para el siguiente límite
$$\lim_{n\to\infty} \int_{0}^{\pi/4}\tan^n x \ dx$$
Una forma es utilizar la integración por partes. ¿Qué más podemos hacer aquí? ¿Hay alguna forma rápida?
Todas las respuestas tendrán mi upvote. Gracias.
Utilice la sustitución $t:=\tan x$ (entonces $\arctan t=x$ y $dx=\frac{dt}{1+t^2}$ ). Entonces $$0\leq I_n:=\int_0^{\frac{\pi}4}\tan^n xdx=\int_0^1\frac{t^n}{1+t^2}dt\leq \int_0^1t^ndt=\left[\dfrac{t^{n+1}}{n+1}\right]_{0}^{1}=\frac 1{n+1},$$ que da $0$ como límite.
La fórmula también da la relación de recursión $I_{n+2}=\frac 1{n+1}-I_n$ que puede ayudar a estudiar el comportamiento asintótico de $\{I_n\}$ .
$$I_n = \int_0^{\pi/4} \tan^n(x) dx = \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2}(x) \sec^2(x) dx - \int_0^{\pi/4} \tan^{n-2}(x)dx$$ $$I_n + I_{n-2}= \int_0^1 t^{n-2} dt = \dfrac1{n-1}$$ Tenga en cuenta que $I_n$ es monótona decreciente con $n$ y está limitada por debajo por $0$ y por lo tanto converge.
Por lo tanto, si $\lim_{n \to \infty} I_n = L$ tenemos que $L + L = \lim_{n \to \infty} \dfrac1{n-1} \implies L = 0$
Utilice el Teorema de Convergencia Dominada de Lebesgue, o el Teorema de Convergencia Monótona.
EDITAR: O explícitamente, dado $\pi/4 > \epsilon > 0$ ,
$$\int_0^{\pi/4} \tan^n x\ dx < (\pi/4 - \epsilon) \tan(\pi/4 - \epsilon)^n + \epsilon $$ que es menor que $2 \epsilon$ si $n$ es lo suficientemente grande.
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La regla general lo resuelve. $\tan x$ está entre $0$ y $1$ . Llevando esto a una potencia infinita, todo será cero, excepto el punto más a la derecha, que sigue siendo uno. Pero eso es medida cero y no contribuye a la integral. Aquí no hay ninguna expresión indeterminada, sólo una secuencia de funciones que converge a una función discontinua conocida.