Cero de la sección Transversal de la Curvatura implica exp es una isometría local

Question

Estoy estudiando DoCarmo el libro de Geometría de Riemann, el primer problema de la capítulo 5 (Campos de Jacobi) los estados que

Si $(M,g)$ es una de riemann colector con curvatura seccional idéntica a cero, muestran que por cada $p \in M$, $exp_p: B_\varepsilon(0) \subseteq T_pM \rightarrow B_\varepsilon(p)$ es una isometría.

Yo no averiguar cómo se relacionan Campos de Jacobi con esta pregunta en particular, agradezco cualquier sugerencia.

(PD esto no es una tarea, estoy estudiando geometría de Riemann para mi propia sólo para fines de investigación)

Answer 1

Aquí hay otra manera posible.

Deje $v\in B_\epsilon(0)$$w\in T_v(T_pM)\cong T_pM$. Considere la posibilidad de la variación de geodesics dada por \begin{equation*} \gamma_s(t)=\exp_p\bigl(t(v+sw)\bigr) \end{ecuación*} De ello se sigue que \begin{equation*} J(t)=\frac{\partial\gamma_s}{\partial s}\biggr|_{s=0}=(d\exp_p)(tw) \end{ecuación*} es un Jacobi campo a lo largo de $\gamma_0$. Desde la seccional de curvatura es idéntica a cero, $J$ satisface las siguientes PDE \begin{equation*} \frac{\partial^2J}{\partial t^2}=0 \end{ecuación*} Deje $\{e_i\}$ ser un orthnormal base para $T_pM$ y extenderlo a un en paralelo marco a lo largo de $\gamma_0$ tal que $e_i(0)=e_i$. En términos de el marco, $J(t)=a^i(t)e_i(t)$$w=w^ie_i$. La solución de la ecuación anterior, tenemos $J(t)=(w^it)e_i(t)$, por lo que \begin{equation*} w^ie_i(1)=(d\exp_p)(w) \end{ecuación*} Siguiendo el mismo argumento, si $u\in T_v(T_pM)\cong T_pM$$u=u^ie_i$, entonces \begin{equation*} u^ie_i(1)=(d\exp_p)(u) \end{ecuación*} Por lo tanto, \begin{align*} \langle(d\exp_p)(w),(d\exp_p)(u)\rangle &=w^iu^j\langle e_i(1),e_j(1)\rangle\\ &=w^iu^j\langle e_i,e_j\rangle\\ &=\langle w,u\rangle, \end{align*} demostrando que $\exp_p\colon B_\epsilon(0)\to B_\epsilon(p)$ es un isometría. Tenga en cuenta que hemos utilizado el hecho de que $\langle e_i(t),e_j(t)\rangle$ is indepdent of $t$.

Answer 2

Lo que voy a hacer es mostrar que en condiciones normales de coordenadas de la métrica es la distancia euclídea uno

Dado un vector $v$ $T_{q}M,$ algunos $q$ en normal barrio de $p,$ vamos a calcular $g(v,v).$ A este fin, se descomponen $v$ orthognally como $v=a\frac{\partial}{\partial r}+u,$ cuando la segunda parte, $u,$ es tangente a la esfera geodésica (sabemos que la decomposicition es ortogonal gracias a Gauss lema). La norma de la parte radial es sólo $a^{2}.$ ahora voy a mostrar cómo calcular el número de radios de la parte.

Deje $\gamma(s)$ ser la única geodésica de unirse a $p$ $q$ (Es único porque estamos en una normal de barrio). Aviso que en condiciones normales de coordenadas de los componentes de un campo de Jacobi $J$ a lo largo de una geodésica $\gamma(s)$ tal que $J(0)=0$ $J^{\prime}(0)=V,$ son expresed como $J^{i}(s)=sV^{i}.$ por lo tanto, si llamamos a $d$ el distantes de $p$ a $q,$ $u$ es el valor en $q$ de los Jacobi campo, cuyos componentes en condiciones normales de coordenadas son: $J^{i}=\frac{s}{d}u^{i}.$

Fuerthermore, dejando $n$ ser un vector normal a $\gamma^{\prime}(0)$ $n(s)$ su pararllell transporte a lo largo de $\gamma,$ tendremos $J(s)=sn(s),$ porque nuestro colector tiene curvatura cero.

Tomando covariante derivados, $D J (0)=n(0).$ Pero $n(s)$ es pararlell; que es, en particular, su longitud es constante.

$$\vert u \vert ^{2}=\vert J(d) \vert ^{2}=d^{2}\vert n(d) \vert ^{2}=d^{2}\vert D J(0) \vert ^{2},$$ Pero también, la forma de la expresión normal de coordenadas podemos ver: $$ (D J(0))^{i}=\frac{1}{d}u^{i}.$$

Ahora bien, la métrica coincide con la distancia euclídea en $p$ (estamos en condiciones normales de coordenadas dado por $\text{exp}_{p}$). Por lo tanto: $$\vert u \vert_{eucl}= d \vert DJ(0) \vert,$$ Donde el subíndice significa que estamos tomando la eculidean norma de los componentes.

Sustituyendo, se llega a: $$\vert u \vert ^{2}=d^{2}\vert DJ(0) \vert ^{2}=d^{2}\frac{1}{d^{2}}\vert u \vert_{eucl} ^{2}=\vert u \vert_{eucl}^{2},$$ Una que se hacen