Evaluar $\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cos(ax) dx$

Question

Quiero evaluar esta integral $$I=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cos(ax) dx \quad (a \in \mathbb{R})$$ pero no puedo encontrar una estrategia útil. Podría usted por favor darme una pista?

Answer 1

Pensé que podría ser instructivo para presentar un enfoque que se basa en las herramientas adquiridas en un primer curso de cálculo. Sin embargo, comenzamos con una introducción sobre las funciones de Bessel, un tema que normalmente no se introdujo en la escuela primaria de cálculo.

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IMPRIMACIÓN $1$:

La Función de Bessel, $J_n(a)$, de la primera especie y del entero orden de $n$ puede ser definida como

$$J_n(a)=\frac1\pi\int_0^\pi \cos(nx-a\sin(x))\,dx \tag{P1}$$

Entonces, la función de Bessel de orden cero, $J_0(a)$ se expresa como

$$\begin{align} J_0(a)&=\frac1\pi\int_0^\pi \cos(a\sin(x))\,dx\\\\ &=\frac1\pi\int_0^{\pi/2} \cos(a\sin(x))\,dx+\frac1\pi\int_{\pi/2}^\pi \cos(a\sin(x))\,dx\tag{P2}\\\\ &=\frac2\pi\int_0^{\pi/2}\cos(a\sin(x))\,dx\tag{P3} \end{align}$$

donde hemos aplicado la sustitución de $x\mapsto \pi-x$ en la segunda integral de la $(\text{P}2)$ para llegar a $(\text{P}3)$.

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IMPRIMACIÓN $2$:

La derivada de $J_0(a)$, es

$$\begin{align} J_0'(a)&=-\frac1\pi\int_0^\pi \sin(x)\sin(a\sin(x))\,dx\\\\ &=-\frac{1}{2\pi}\left(\int_0^\pi \cos(x-a\sin(x))\,dx-\int_0^\pi \cos(x+a\sin(x))\,dx\right)\tag{P4}\\\\ &=-\frac{1}{2\pi}\left(\int_0^\pi \cos(x-a\sin(x))\,dx+\int_0^\pi \cos(x-a\sin(x))\,dx\right)\tag{P5}\\\\ &=-J_1(a)\tag{P6} \end{align}$$

donde hemos aplicado la sustitución de $x\mapsto \pi-x$ en la segunda integral de la $(\text{P}4)$ para llegar a $(\text{P}5)$.

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Deje $f$ ser dado por la integral

$$f(a)=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\,(a\cos(tx))\,dx\tag 1$$

Escrito $t\cos(xa)$ $a\cos(xa)=\frac{d\sin(xa)}{dx}$ $(1)$ revela

$$f(a)=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\,\frac{d\sin(xa)}{dx}\,dx\tag2$$

Integrando por partes la integral en $(2)$, obtenemos

$$f(a)=\int_0^1 \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\sin(xa)\,dx\tag3$$

Cumplimiento de la subestación $x\mapsto \sin(x)$ $(3)$ rendimientos

$$\begin{align} f(t)&=\int_0^{\pi/2} \sin(x)\sin(a\sin(x))\,dx\\\\ &=-\frac{d}{da}\int_0^{\pi/2} \cos(a\sin(x))\,dx\tag 4\\\\ &=-\frac{d}{da}\left(\frac{\pi}{2}J_0(a)\right)\tag5\\\\ &=\frac\pi2 J_1(a)\tag6 \end{align}$$

En lo que va de $(4)$$(5)$, se utilizó $(\text{P}3)$ y en lo que va de $(5)$$(6)$, se utilizó $(\text{P}6)$.

Por último, tenemos

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{\frac{f(a)}{a}=\int_0^1 \sqrt{1-x^2}\cos(ax)\,dx=\frac{\pi}{2}\frac{J_1(a)}a}$$

Y hemos terminado!

Answer 2

Sugerencia: la serie de Maclaurin en potencias de $a$.

EDIT: Alternativa sugerencia: la transformada de Laplace.

Answer 3

Vamos $$I = \int_0^1 \sqrt{1 - x^2} \cos (ax) \, dx.$$ La integración por partes tenemos $$I = \frac{1}{a} \int_0^1 \frac{x \sin (ax)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.$$

Ahora, con un resultado que mostrar aquí, es decir, $$J_0 (a) = \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{\cos (ax)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx,$$ donde $J_0 (x)$ es la función de Bessel de primera especie de orden cero, la diferenciación de este resultado con respecto al parámetro de $a$ hemos $$J'_0 (a) = - \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{x \sin (ax)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx.$$ Ahora, a partir de la razonablemente bien conocido el resultado de $J'_0 (x) = - J_1 (x)$ donde $J_1(x)$ es la función de Bessel de primera especie de orden uno, tenemos $$J_1 (a) = \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{x \sin (ax)}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx,$$ y llegamos a la conclusión de $$I = \frac{\pi}{2a} J_1 (a).$$