Encontrar el límite de uso de la definición de Integral de Riemann

Question

La pregunta es como en el tema.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\sqrt[n]{\frac{(2n)!}{n!}} $$

No puedo pensar de una integral se puede representar. Cualquier ayuda es apreciada.

Answer 1

Tomando el registro de da $$-\ln n+{1\over n}\big(\ln (n+1)+\cdots +\ln (2n)\big)={1\over n}\left([\ln(n+1)-\ln n]+\cdots+[\ln(2n)-\ln n]\right)$$ $$={1\over n}\left(\ln\left(1+{1\over n}\right)+\cdots+\ln\left(1+{n\over n}\right)\right)\to\int_1^2\ln x\,\mathrm{d}x=2\ln 2-1$$