Es mi método correcto para demostrar $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$?

Question

Mi problema es demostrar esta igualdad:

$$a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$$

Mi método:

$$\begin{cases} \log_b a=m\\ \log_b c=n\\ \end{casos} \Rightarrow \begin{cases} a=b^m\\ c=b^n\\ \end{casos} \Rightarrow \begin{cases} a^n=(b^m)^n\\ c^m=(b^n)^m\\ \end{casos} \Rightarrow a^n=c^m \Rightarrow a^{\log_b c} = c^{\log_b a} $$

Este método es correcto o hay una solución más elegante?

Gracias!

Answer 1

Sí, es correcto. También puede considerar la posibilidad de $$ \log_b(a^{\log_bc})=\log_bc\cdot\log_ba = \log_ba\cdot\log_bc=\log_b(c^{\log_ba}) $$ Ya que la función $\log_b$ es invertible, llegar a la conclusión de $$ a^{\log_bc}=c^{\log_ba} $$

Answer 2

Creo que su camino es mejor que cualquier "elegante" maneras porque elegantes formas mirar hábil, pero que se basan en la memorización de la recitación de principios de confianza en lo que puede dificultar la comprensión.

Slick:

$a^{\log_b c} = (b^{\log_b a})^{\log_b c} = (b^{\log_b c})^{\log_b a} = c^{\log_b a}$

pero que... bueno, parece que la mancha de deslizamiento símbolos a su alrededor. Es grande y elegante, pero...

También si damos por sentado que $b^x = b^y \iff x =y$ y que, por tanto, que $x=y \iff \log_b x = \log_b y$ (debido a $x = b^{\log_b x}$ $y = b^{\log_b y})$

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \iff$

$\log_b a^{\log_b c} = \log_b c^{\log_b a} \iff$

$\log_b c*\log_b a = \log_b a*\log_b c$

... pero que realmente se siente como deslizamiento de símbolos a su alrededor.

(De hecho, en escribir, he cometido un error y tengo el claro resultado incorrecto $\log_b c*\log_a b = \log_b a* \log_b c$ y me tomó siete minutos de la prueba de lectura para encontrar mi error como yo estaba perdido en símbolos, en lugar de significado.)

....

Tercero.

$a^{\log_b c} = c^{\log_b a} \iff$

$\log_a a^{\log_b c} = \log_a c^{\log_b a} \iff$

$\log_b c = \log_b a *\log_a c \iff$

$b^{\log_b c} = b^{ \log_b a *\log_a c} \iff$

$c = (b^{ \log_b a})^{\log_a c} \iff $

$c = a^{\log_a c} \iff$

$c =c $.

[Nota: Todo lo que suponga $b,a \ne 1$$a,b,c > 0$.]