Determinar si F es inyectiva y surjective

Question

Deje $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ser una función. Determinar si es o no f es inyectiva y surjective donde $f(x)=|x|$

Así que si estoy en lo correcto, no es inyectiva y no es surjective. Para una prueba, voy a hacer un contador de ejemplo:

inyectiva contador de ejemplo: supongamos $x=-1$ $x=1,$ obtendrá $y=1$, lo cual significa dos x se asigna a uno en el codominio.

surjective ejemplo contrario: hay no$x$, lo que le permite obtener un $y=-1$

cualquiera puede comprobar?

Answer 1

No inyectiva: $|-1|=|1|$ pero $1\neq{-1}$.

No surjective: la imagen de $[0, \infty)$ es diferente a codominio $\mathbb{R}$.

Answer 2

Por definición, $f(x) \geq 0$, por lo que su segundo contraejemplo es correcta. Así que es la primera,por razones obvias. Pero es interesante tener en cuenta si queremos redefinir el dominio y el rango de la siguiente manera: $f:\mathbb{R^{+}} -> \mathbb{R^{+}}$ donde $R^{+} =\{x\in R | x\geq 0\}$ o $f:\mathbb{R^{-}} -> \mathbb{R^{-}}$ donde $R^{-} =\{x\in R | x\leq 0\}$ . Entonces es fácil demostrar que este es un bijection.

Pero no, el ordinario de la función valor absoluto no es un bijection. El mucho más complejo cosa a probar es si es o no es continua en R. Puedes probarlo y si no, dar un contraejemplo?

No es la diversión de matemáticas?