sobre la descomposición del valor singular

Question

Si $T$ es un mapa lineal autoadjunto en un $n$ -espacio de producto interno de dimensiones $X$ (ya sea real o complejo) entonces sabemos por el teorema espectral que existe una base ortonormal de $X$ Llámalo $v = \{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ , bajo que la matriz de $T$ es diagonal.

Aunque esto no es cierto para los mapas lineales arbitrarios, podemos hacer algo. De hecho, por la descomposición del valor singular, $T$ sigue teniendo la garantía de tener un matriz diagonal si estamos dispuestos a utilizar dos bases ortonormales diferentes para $X$ , llámalos $e = \{e_1, e_2, \dots, e_n\}$ y $f = \{f_1, f_2, \dots, f_n\}$ .

Al principio, pensé que si realizábamos una SVD a un operador autoadjunto, entonces obtendríamos hasta un reordenamiento, $v = e = f$ y las mismas matrices diagonales.

En realidad esto no es cierto, porque la SVD es aún más fuerte que eso: los elementos de la ¡matriz diagonal son positivos!

Así que me queda la duda de si existe una SVD menos fuerte donde los elementos de la diagonal diagonal no estén restringidos a ser positivos, de modo que si realizamos esta descomposición a un operador autoadjunto obtendríamos lo mismo de una descomposición de valores propios y vectores propios..

Answer 1

Dejemos que $T = U \Sigma V^*$ sea una SVD de $T$ . Entonces

$$U \Sigma V^* = T = T^* = V \Sigma U^*,$$

es decir,

$$\Sigma = (U^*V) \Sigma (U^*V)^*.$$

Obviamente, $U^*V$ puede sea una diagonal, en cuyo caso es trivial cambiar los signos en $\Sigma$ de manera que $U$ y $V$ se vuelven iguales.

Pero si, por ejemplo, $T$ tiene dos valores singulares iguales, es decir $\Sigma$ tiene dos elementos diagonales iguales, entonces $U^*V$ puede ser una permutación (quizá también multiplicada por una diagonal unitaria), por lo que el arreglo es más difícil.

Peor aún, si $T$ es singular o de rango $r$ entonces

$$T = \begin{bmatrix} U_1 & U_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Sigma_1 \\ & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1^* \\ V_2^* \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} U_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \Sigma_1 \\ & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} V_1^* \\ 0 \end{bmatrix} = U_1 \Sigma V_1^*.$$

Aquí, $U_2$ y $V_2$ son bastante arbitrarias (sus columnas tienen que ser normales y ortogonales entre sí y con las de $U_1$ y $V_1$ respectivamente), lo que hace que no estén relacionados. Sin embargo, esto puede solucionarse calculando alguna forma de SVD reducida (es decir, calculando sólo las ortonormales rectangulares $U_1$ y $V_1$ ).

Por lo tanto, cambiar el SVD para que se comporte como uno quiere no es tan trivial. Creo que es mucho más fácil comprobar si la matriz es hermitiana/simétrica y, si lo es, calcular Descomposición de Schur en lugar de la SVD. La comprobación puede no ser tan sencilla si se desea una mayor generalidad ( $\Sigma$ no necesariamente real, es decir, $T$ cualquier matriz normal).

Answer 2

Creo que la cuestión gira en torno a la cantidad de información que los valores singulares $\sigma_i$ llevar para un operador que puede no ser normal.

Supongamos que queremos factorizar $T = U \Gamma V^*$ y se nos permite elegir $\Gamma$ diagonal con entradas no positivas (o incluso no reales). Las entradas tendrían que tener módulos $|\gamma_i | = \sigma _i$ en algún ordenamiento, por un argumento que daré a continuación. Y más allá de eso, no estoy seguro de qué tipo de elección canónica podríamos hacer para los argumentos del $\gamma_i$ .

Sabemos lo que $U$ y $V$ tiene que ser: si $T: W \to W$ es un operador lineal complejo y $T = U \Gamma V^*$ para $\Gamma$ diagonal, entonces $T^*T = V \Gamma^* \Gamma V^*$ . Esta tiene que ser la diagonalización ortogonal del operador positivo $T^* T$ Así que $V$ deben ser los vectores propios de $T^* T$ . Con un argumento similar $U$ deben ser los vectores propios de $TT^*$ . Y podemos ver que $\overline {\gamma_i}{\gamma_i} = |\gamma_i|^2 $ tienen que ser los valores propios de $T^* T$ por lo que conocemos el módulo de $\gamma_i$ . Pero, ¿qué argumento para $\gamma_i$ ¿elegimos, si no es cero? Para conseguir lo que pide, nos gustaría hacer alguna elección que refleje algo del operador original $T$ (como, por ejemplo, algo relacionado con sus valores propios). Pero no estoy seguro de lo que sería.