Convergencia de una serie de potencias e intercambio de orden de suma e integración.

Question

Si tenemos la expresión $$f(x) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \int_{\gamma_1} \int_{\gamma_2} \cdots \int_{\gamma_n} f(z) \prod_{j=1}^n \left( \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x_j^i}{z_j^{i+1}} \right)dz_j.$$ ¿Cómo podría demostrar que la serie $\prod_{j=1}^{n} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{x_j^i}{z_j^{i+1}}dz_j$ converge absolutamente, de manera que puedo escribir $f(x)$ como $$f(x) = \frac{1}{(2\pi i)^n} \sum_{i=0}^{\infty} \prod_{j=1}^n \int_{\gamma_j} \frac{f(z)}{z_j^{i+1}}dz_j?$$

Nótese que este es un pequeño argumento que conforma una prueba mayor en la que estoy trabajando.

Answer 1

Asumiendo que estamos trabajando en discos, que $|x_j|\leq r_j < |z_j|=R_j$ y $|f(z)|\leq M$ en el disco del producto, basta con mostrar la convergencia absoluta. Tenemos $$ \sum_{k\geq 0} \left| \frac{x_j^k}{z_j^{k+1}} \right| \leq \sum_{k\geq 0} \frac{r_j^k}{R_j^{k+1}} = \frac{1}{R_j-r_j} $$ y luego $$ |f(z)| \prod_{j=1}^n \sum_{k\geq 0} \left|\frac{x_j^k}{z_j^{k+1}} \right| \leq M \prod_{j=1}^n \frac{1}{R_j-r_j} $$ Al ser absolutamente convergente la suma del producto está bien definida y puedes permutar el orden de toma de sumas/productos como más te guste. La última expresión que has escrito, sin embargo, es errónea ya que el índice $i$ debe depender de $j$ . Más precisamente tenemos:

$$ \int_{\gamma_1} \cdots \int_{\gamma_n} f(z)\prod_{j=1}^n \left( \sum_{k\geq 0} \frac{x_j^k}{z_j^{k+1}} \right)\frac{dz_j}{2\pi i} = \sum_{k_1\geq 0} \cdots \sum_{k_n\geq 0} \int_{\gamma_1} \cdots \int_{\gamma_n} f(z) \left( \prod_{j=1}^n \frac{x_j^{k_j}}{z_j^{{k_j}+1}} \frac{dz_j}{2\pi i}\right) $$ Puede comparar con: $$ \prod_{j=1}^2 \left(\sum_{k=1}^2 a_{jk} \right)= (a_{11}+a_{12})(a_{21} + a_{22}) = \sum_{k_1=1}^2 \sum_{k_2=1}^2 a_{1k_1} a_{2 k_2} = \sum_{k_1=1}^2 \sum_{k_2=1}^2 \left( \prod_{j=1}^2 a_{jk_j}\right)$$